Sách bài tập Toán 10 Bài 4 (Cánh diều): Nhị thức Newton

Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Nhị thức Newton - Cánh diều

Giải SBT Toán 10 trang 15 Tập 2

Bài 28 trang 15 SBT Toán 10 Tập 2:

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

B. (a – b)⁴ = a⁴ – 4a³b + 6a²b² – 4ab³ + b⁴.

C. (a + b)⁴ = b⁴ + 4b³a + 6b²a² + 4ba³ + a⁴.

D. (a + b)⁴ = a⁴ + b⁴.

Lời giải:

Đáp án đúng là D

Công thức khai triển nhị thức Newton (a + b)⁴ là:

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ = b⁴ + 4b³a + 6b²a² + 4ba³ + a⁴.

Do đó phương án A, C đúng, phương án D sai.

Công thức khai triển nhị thức Newton (a – b)⁴ là:

(a + b)⁴ = a⁴ – 4a³b + 6a²b² – 4ab³ + b⁴.

Do đó phương án B đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Giải SBT Toán 10 trang 16 Tập 2

Bài 29 trang 16 SBT Toán 10 Tập 2:

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

A. (a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

B. (a – b)⁵ = a⁵ – 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ – 5ab⁴ + b⁵.

C. (a + b)⁵ = a⁵ + b⁵.

D. (a – b)⁵ = a⁵ – b⁵.

Lời giải:

Công thức khai triển nhị thức Newton (a + b)⁵ là:

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

Do đó phương án A đúng, phương án C sai.

Công thức khai triển nhị thức Newton (a – b)⁵ là:

(a – b)⁵ = a⁵ – 5a⁴b + 10a³b² – 10a²b³ + 5ab⁴ – b⁵.

Do đó các phương án B, D sai.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 30 trang 16 SBT Toán 10 Tập 2:

Hệ số của x³ trong khai triển biểu thức (2x – 1)⁴ là:

A. 32.

B. –32.

C. 8.

D. –8.

Lời giải:

Đáp án đúng là B

Ta có: (2x – 1)⁴ = (2x)⁴ – 4.(2x)³.1 + 6.(2x)².1² – 4.(2x).1³ + 1⁴

= 16x⁴ – 32x³ + 24x² – 8x + 1

Số hạng chứa x³ trong khai triển biểu thức (2x – 1)⁴ là –32x³.

Vậy hệ số của x³ trong khai triển biểu thức (2x – 1)⁴ là –32.

Do đó ta chọn phương án B.

Bài 31 trang 16 SBT Toán 10 Tập 2:

Hệ số của x trong khai triển biểu thức (x – 2)⁵ là:

A. 32.

B. –32.

C. 80.

D. –80.

Lời giải:

Đáp án đúng là C

Ta có: (x – 2)⁵ = x⁵ – 5x⁴.2 + 10x³.2² – 10x².2³ + 5x.2⁴ – 2⁵

=x⁵ – 10x⁴ + 40x³ – 80x² + 80x – 32

Số hạng chứa x trong khai triển biểu thức (x – 2)⁵ là 80x.

Vậy hệ số của x trong khai triển biểu thức (x – 2)⁵ là 80.

Do đó ta chọn phương án C.

Bài 32 trang 16 SBT Toán 10 Tập 2:

Khai triển các biểu thức sau:

a) (4x + 1)⁴;

b) (5x – 3)⁴;

c) ${\left(\frac{1}{3}x+5\right)}^5$;

d) ${\left(3x-\frac{1}{3}\right)}^5$.

Lời giải:

a) (4x + 1)⁴ = (4x)⁴ + 4.(4x)³.1 + 6.(4x)².1² + 4.4x.1³ + 1⁴

= 256x⁴ + 256x³ + 96x² + 16x + 1.

b) (5x – 3)⁴ = (5x)⁴ + 4.(5x)³.(–3) + 6.(5x)².(–3)² + 4.5x.(–3)³ + (–3)⁴

= 625x⁴ – 1500x³ + 1350x² – 540x + 81.

c)${\left(\frac{1}{3}x+5\right)}^5={\left(\frac{1}{3}x\right)}^5+5.{\left(\frac{1}{3}x\right)}^4.5+10.{\left(\frac{1}{3}x\right)}^3{.5}^2+10.{\left(\frac{1}{3}x\right)}^2{.5}^3+5.\left(\frac{1}{3}x\right){.5}^4+5^5$

$=\frac{1}{243}{x}^5+\frac{25}{81}{x}^4+\frac{250}{27}{x}^3+\frac{1250}{9}{x}^2+\frac{3125}{3}x+3125$.

d)${\left(3x-\frac{1}{3}\right)}^5={\left(3x\right)}^5+5.{\left(3x\right)}^4.\left(-\frac{1}{3}\right)+10.{\left(3x\right)}^3.{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2$

$+10.{\left(3x\right)}^2.{\left(-\frac{1}{3}\right)}^3+5.\left(3x\right).{\left(-\frac{1}{3}\right)}^4+{\left(-\frac{1}{3}\right)}^5=243x^5-135x^4+30x^3-\frac{10}{3}{x}^2+\frac{5}{27}x-\frac{1}{243}$

Bài 33 trang 16 SBT Toán 10 Tập 2:

Xác định hệ số của x² trong khai triển biểu thức (4x – 3)⁴.

Lời giải:

Ta có: (4x – 3)⁴ = (4x)⁴ – 4.(4x)³.3 + 6.(4x)².3² – 4.4x.3³ + 3⁴

= 256x⁴ – 768x³ + 864x² – 432x + 81

Số hạng chứa x² trong khai triển biểu thức (4x – 3)⁴ là 864x².

Vậy hệ số của x² trong khai triển biểu thức (4x – 3)⁴ là 864.

Bài 34 trang 16 SBT Toán 10 Tập 2:

Xác định hệ số của x³ trong khai triển biểu thức ${\left(\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}\right)}^5$.

Lời giải:

Ta có: ${\left(\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}\right)}^5={\left(\frac{2}{3}x\right)}^5+5.{\left(\frac{2}{3}x\right)}^4.\left(\frac{1}{4}\right)+10.{\left(\frac{2}{3}x\right)}^3.{\left(\frac{1}{4}\right)}^2+10.{\left(\frac{2}{3}x\right)}^2.{\left(\frac{1}{4}\right)}^3$

 $+5.{\left(\frac{2}{3}x\right)}^1.{\left(\frac{1}{4}\right)}^4+{\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{32}{243}{x}^5+\frac{20}{81}{x}^4+\frac{5}{27}{x}^3+\frac{5}{72}{x}^2+\frac{5}{384}x+\frac{1}{1024}$

Số hạng chứa x³ trong khai triển biểu thức ${\left(\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}\right)}^5$là $\frac{5}{27}{x}^3$.

Vậy hệ số của x³ trong khai triển biểu thức ${\left(\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}\right)}^5$là $\frac{5}{27}$.

Bài 35 trang 16 SBT Toán 10 Tập 2:

Cho ${\left(2x-\frac{1}{3}\right)}^4=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4$. Tính:

a) a₂;

b) a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄.

Lời giải:

a) Ta có:

 ${\left(2x-\frac{1}{3}\right)}^4={\left(2x\right)}^4+4.{\left(2x\right)}^3.\left(-\frac{1}{3}\right)+6.{\left(2x\right)}^2.{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2+4.{\left(2x\right)}^1.{\left(-\frac{1}{3}\right)}^3+{\left(-\frac{1}{3}\right)}^4=16x^4-\frac{32}{3}{x}^3+\frac{8}{3}{x}^2-\frac{8}{27}x+\frac{1}{81}$

Ta thấy a₂ là hệ số của x².

Số hạng chứa x² trong khai triển biểu thức ${\left(2x-\frac{1}{3}\right)}^4$là $\frac{8}{3}{x}^2$.

Suy ra hệ số của x² trong khai triển biểu thức ${\left(2x-\frac{1}{3}\right)}^4$là $\frac{8}{3}$.

Tức là, $a_2=\frac{8}{3}$.

b) Ta có ${\left(2x-\frac{1}{3}\right)}^4=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4$

Chọn x = 1, ta được:

${\left(2.1-\frac{1}{3}\right)}^4$= a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = a₀ + a₁.1 + a₂.1² + a₃.1³ + a₄.1⁴

⇔ $\frac{625}{81}$= a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄.

Vậy a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = $\frac{625}{81}$.

Bài 36 trang 16 SBT Toán 10 Tập 2:

Cho ${\left(\frac{3}{5}x+\frac{1}{2}\right)}^5=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5$. Tính:

a) a₃;

b) a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅.

Lời giải:

Ta có: ${\left(\frac{3}{5}x+\frac{1}{2}\right)}^5={\left(\frac{3}{5}x\right)}^5+5.{\left(\frac{3}{5}x\right)}^4.\left(\frac{1}{2}\right)+10.{\left(\frac{3}{5}x\right)}^3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+10.{\left(\frac{3}{5}x\right)}^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^3$

$+5.\left(\frac{3}{5}x\right).{\left(\frac{1}{2}\right)}^4+{\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{243}{3125}{x}^5+\frac{81}{250}{x}^4+\frac{27}{50}{x}^3+\frac{9}{20}{x}^2+\frac{3}{16}x+\frac{1}{32}$

Ta thấy a₃ là hệ số của x³.

Số hạng chứa x³ trong khai triển biểu thức ${\left(\frac{3}{5}x+\frac{1}{2}\right)}^5$là $\frac{27}{50}{x}^3$.

Suy ra hệ số của x³ trong khai triển biểu thức ${\left(\frac{3}{5}x+\frac{1}{2}\right)}^5$là $\frac{27}{50}$.

Tức là, $a_3=\frac{27}{50}$.

b) Ta có a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = a₀ + a₁.1 + a₂.1² + a₃.1³ + a₄.1⁴ + a₅.1⁵

$={\left(\frac{3}{5}.1+\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{161051}{100000}$.

Vậy a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = $\frac{161051}{100000}$.

Bài 37* trang 16 SBT Toán 10 Tập 2:

Tính các tổng sau (không sử dụng máy tính cầm tay):

a) $T=C_4^0+\frac{1}{2}{C}_4^1+\frac{1}{3}{C}_4^2+\frac{1}{4}{C}_4^3+\frac{1}{5}{C}_4^4$;

b) $S=C_6^1+2C_6^2+3C_6^3+4C_6^4+5C_6^5+6C_6^6$.

Lời giải:

a) Áp dụng kết quả $\frac{1}{k+1}{C}_n^k=\frac{1}{n+1}{C}_{n+1}^{k+1}$với 0 ≤ k ≤ n(chứng minh ở Bài 27a trang 14 SBT Toán 10 Tập 2), ta được:

$T=1.C_4^0+\frac{1}{2}{C}_4^1+\frac{1}{3}{C}_4^2+\frac{1}{4}{C}_4^3+\frac{1}{5}{C}_4^4=\frac{1}{5}{C}_5^1+\frac{1}{5}{C}_5^2+\frac{1}{5}{C}_5^3+\frac{1}{5}{C}_5^4+\frac{1}{5}{C}_5^5=\frac{1}{5}\left(C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5\right)=\frac{1}{5}\left.\left(C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5\right)-C_5^0\right]=\frac{1}{5}\left.{\left(1+1\right)}^5-1\right]=\frac{31}{5}$

Vậy $T=\frac{31}{5}$.

b) Áp dụng kết quả $k{C}_n^k=n{C}_{n-1}^{k-1}$với 1 ≤ k ≤ n (chứng minh ở Bài 27b trang 14 SBT Toán 10 Tập 2), ta được:

$S=1.C_6^1+2C_6^2+3C_6^3+4C_6^4+5C_6^5+6C_6^6=6C_{6-1}^{1-1}+6C_{6-1}^{2-1}+6C_{6-1}^{3-1}+6C_{6-1}^{4-1}+6C_{6-1}^{5-1}+6C_{6-1}^{6-1}=6.\left(C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5\right)=6.\left(C_5^0{.1}^5+C_5^1{.1}^4.1+C_5^2{.1}^3{.1}^2+C_5^3{.1}^2{.1}^3+C_5^4{\mathrm{.1.1}}^4+C_5^5{.1}^5\right)$

= 6.(1 + 1)⁵ = 6.2⁵ = 192.

Vậy S = 192.