Sách bài tập Toán 10 Bài 3 (Cánh diều): Phương trình đường thẳng

Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Phương trình đường thẳng - Cánh diều

Giải SBT Toán 10 trang 73 Tập 2

Bài 24 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: 2x – 3y + 5 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ∆?

A. $\overrightarrow{n_1}=\left(2;-3\right)$;

B. $\overrightarrow{n_2}=\left(-3;2\right)$;

C. $\overrightarrow{n_3}=\left(2;3\right)$;

D. $\overrightarrow{n_4}=\left(3;2\right)$.

Lời giải:

Đưởng thẳng ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}\left(a;b\right)$.

Do đó có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}\left(2;-3\right)$.

Vậy chọn đáp án A.

Bài 25 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: $\begin{array}{c}x=3-t\\ y=4+2t\end{array}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của ∆?

A. $\overrightarrow{u_1}=\left(3;4\right)$;

B. $\overrightarrow{u_2}=\left(-2;1\right)$;

C. $\overrightarrow{u_3}=\left(-1;2\right)$;

D. $\overrightarrow{u_4}=\left(-2;-1\right)$.

Lời giải:

Hệ số của tham số lần lượt là tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Do đó đường thẳng ∆: $\begin{array}{c}x=3-t\\ y=4+2t\end{array}$có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u}=\left(-1;2\right)$.

Vậy chọn đáp án C.

Bài 26 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: $\begin{array}{c}x=2-5t\\ y=-1+3t\end{array}$. Trong các điểm có tọa độ dưới đây, điểm nào nằm trên đường thẳng ∆?

A. (- 3; - 2);

B. (2; - 1);

C. (- 2; 1);

D. (- 5; 3).

Lời giải:

+) Thay tọa độ (-3; -2) vào phương trình tham số của đường thẳng ta có:

$\begin{array}{c}-3=2-5t\\ -2=-1+3t\end{array}$$\iff \begin{array}{l}t=1\\ t=\frac{-1}{3}\end{array}$(vô lý).

Do đó điểm (-3; -2) không thuộc đường thẳng ∆.

+) Thay tọa độ (2; - 1) vào phương trình tham số của đường thẳng ta có:

$\begin{array}{c}2=2-5t\\ -1=-1+3t\end{array}\iff \begin{array}{l}t=0\\ t=0\end{array}\iff t=0$.

Do đó điểm (2; - 1) không thuộc đường thẳng ∆.

+) Thay tọa độ (- 2; 1) vào phương trình tham số của đường thẳng ta có:

$\begin{array}{c}-2=2-5t\\ 1=-1+3t\end{array}\iff \begin{array}{l}t=\frac{4}{5}\\ t=\frac{2}{3}\end{array}$(vô lý).

Do đó điểm (-2; 1) không thuộc đường thẳng ∆.

+) Thay tọa độ (- 5; 3) vào phương trình tham số của đường thẳng ta có:

$\begin{array}{c}-5=2-5t\\ 3=-1+3t\end{array}\iff \begin{array}{l}t=\frac{7}{5}\\ t=\frac{4}{3}\end{array}$(vô lý).

Do đó điểm (-5; 3) không thuộc đường thẳng ∆.

Vậy đáp án đúng là B.

Bài 27 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: x – 3y + 4 = 0. Phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của ∆?

A. $\begin{array}{c}x=-1+3t\\ y=-1+t\end{array}$;

B. $\begin{array}{c}x=-1+3t\\ y=1+t\end{array}$;

C. $\begin{array}{c}x=-1-3t\\ y=1+t\end{array}$;

D. $\begin{array}{c}x=1-3t\\ y=1-t\end{array}$.

Lời giải:

Đường thẳng ∆: x – 3y + 4 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;-3\right)$.

Do đó ∆ có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u}=\left(3;1\right)$.

Chọn M(-1; 1) thuộc đường thẳng ∆

Suy ra phương trình tham số của ∆ là: $\begin{array}{c}x=-1+3t\\ y=1+t\end{array}$.

Vậy chọn đáp án B.

Bài 28 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: $\begin{array}{c}x=-2+2t\\ y=3-5t\end{array}$. Phương trình nào dưới đây là phương trình tổng quát của ∆?

A. 5x + 2y – 4 = 0;

B. 2x – 5y + 19 = 0;

C. – 5x + 2y – 16 = 0;

D. 5x + 2y + 4 = 0.

Lời giải:

Đường thẳng ∆: $\begin{array}{c}x=-2+2t\\ y=3-5t\end{array}$có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;-5\right)$và đi qua điểm A(-2; 3).

Do đó ∆ có vectơ pháp tuyến là:  $\overrightarrow{n}=\left(5;2\right)$

Phương trình tổng quát của ∆ là: 5(x + 2) + 2(y – 3) = 0 hay 5x + 2y + 4 = 0.

Vậy chọn đáp án D.

Bài 29 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC, biết tọa độ trung điểm các cạnh BC, CA, AB lần lượt là M(-1; 1), N(3; 4), P(5; 6).

a) Viết phương trình tham số của các đường thẳng AB, BC, CA.

b) Viết phương trình tổng quát của các đường trung trực của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC có: M, N là trung điểm của BC, AC.

Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra MN song song với AB.

Tương tự ta có MP song song với AC, NP song song với BC.

MN song song với AB nên $\overrightarrow{MN}=\left(4;3\right)$là vectơ chỉ phương của AB

Mà P(5; 6) thuộc AB nên phương trình tham số của AB là: $\begin{array}{l}x=5+4t_1\\ y=6+3t_1\end{array}$.

Ta có: $\overrightarrow{NP}=\left(2;2\right)=2\left(1;1\right)$là vectơ chỉ phương của BC và điểm M(– 1; 1) thuộc AB nên phương trình tham số của BC: $\begin{array}{l}x=-1+t_2\\ y=1+t_2\end{array}$.

Ta có: $\overrightarrow{MP}=\left(6;5\right)$là vectơ chỉ phương của AC và điểm N(3; 4) thuộc AB nên phương trình tham số của AC: $\begin{array}{l}x=3+6t_3\\ y=4+5t_3\end{array}$.

b) Gọi là đường trung trực của AB, BC, AC.

Do MN song song với AB nên $\overrightarrow{MN}$= (4; 3) là vectơ pháp tuyến của d₁. Đường thẳng d₁ đi qua P(5; 6) nên d₁ có phương trình tổng quát là:

4(x – 5) + 3(y – 6) = 0 hay 4x + 3y – 38 = 0.

Do NP song song với BC nên $\overrightarrow{NP}=\left(2;2\right)=2\left(1;1\right)$là vectơ pháp tuyến của d₂. Đường thẳng d₂ đi qua M(– 1; 1) nên d₂ có phương trình tổng quát là:

1(x + 1) + 1(y – 1) = 0 hay x + y = 0.

Do NP song song với BC nên $\overrightarrow{MP}=\left(6;5\right)$là vectơ pháp tuyến của d₂. Đường thẳng d₂ đi qua N(3; 4) nên d₂ có phương trình tổng quát là:

6(x – 3) + 5(y – 4) = 0 hay 6x + 5y – 38 = 0.

Bài 30 trang 73 SBT Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC có A(3; 7), B(-2; 2), C(6; 1). Viết phương trình tổng quát của các đường cao của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi các đường cao của tam giác ABC lần lượt là AD, BE, CF.

Đường thẳng AD vuông góc BC nên AD có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{BC}=\left(8;-1\right)$.

Và AD đi qua A(3; 7) nên phương trình tổng quát của đường thẳng AD là:

8(x – 3) – (y – 7) = 0 hay 8x – y – 17 = 0.

Đường thẳng BE vuông góc AC nên BE có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AC}=\left(3;-6\right)=3\left(1;-2\right)$.

Và BE đi qua B( – 2; 2) nên phương trình tổng quát của đường thẳng BE là:

(x + 2) – 2(y – 2) = 0 hay x – 2y + 6 = 0.

Đường thẳng CF vuông góc AB nên CF có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AB}=\left(-5;-5\right)=-5\left(1;1\right)$.

Và CF đi qua C(6; 1) nên phương trình tổng quát của đường thẳng CF là:

(x – 6) + (y – 1) = 0 hay x + y – 7 = 0.

Giải SBT Toán 10 trang 74 Tập 2

Bài 31 trang 74 SBT Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: $\begin{array}{c}x=4+t\\ y=-1+2t\end{array}$và điểm A(2; 1). Hai điểm M, N nằm trên ∆.

a) Tìm tọa độ điểm M sao cho  $AM=\sqrt{17}$

b) Tìm tọa độ điểm N sao cho đoạn thẳng AN ngắn nhất.

Lời giải:

a) Do M nằm trên ∆ nên M(4 + t; -1 + 2t).

Suy ra  $\overrightarrow{AM}=\left(4+t-2;-1+2t-1\right)=\left(2+t;-2+2t\right)$

Mà  $AM=\sqrt{17}\iff \sqrt{{\left(2+t\right)}^2+{\left(-2+2t\right)}^2}=\sqrt{17}$

$\iff 5t^2-4t-9=0\iff \begin{array}{l}t=\frac{9}{5}\\ t=-1\end{array}$

Vậy M $\left(\frac{29}{5};\frac{13}{5}\right)$hoặc $M\left(3;-3\right)$.

b) Do N nằm trên ∆ nên N(4 + m; -1 + 2m).

Suy ra $\overrightarrow{AN}=\left(4+m-2;-1+2m-1\right)=\left(2+m;-2+2m\right)$

AN ngắn nhất khi và chỉ khi N là hình chiếu của A lên ∆.

Khi đó $\overrightarrow{AN}$vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆:  $\overrightarrow{u}=\left(1;2\right)$

Hay (2 + m). 1 + (-2 + 2m). 2 = 0

 $\iff m=\frac{2}{5}$

Suy ra  $N\left(\frac{22}{5};\frac{-1}{5}\right)$.

Vậy  $N\left(\frac{22}{5};\frac{-1}{5}\right)$.

Bài 32 trang 74 SBT Toán 10 Tập 2: Cho ba điểm A(- 2; 2), B(7; 5), C(4; - 5) và đường thẳng ∆: 2x + y – 4 = 0.

a) Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ và cách đều hai điểm A và B.

b*) Tìm tọa độ điểm N thuộc ∆ sao cho $\left.\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}\right|$có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Do M thuộc đường thẳng ∆ nên M(t; 4 – 2t).

Suy ra $\overrightarrow{AM}=\left(t+2;2-2t\right)$và $\overrightarrow{BM}=\left(t-7;-1-2t\right)$.

Do M cách đều 2 điểm A, B nên MA = MB.

Hay  $\left.\overrightarrow{AM}\right|=\left.\overrightarrow{BM}\right|$

$\iff \sqrt{{\left(t+2\right)}^2+{\left(2-2t\right)}^2}=\sqrt{{\left(t-7\right)}^2+{\left(-1-2t\right)}^2}$

⇔ 5t² – 4t + 8 = 5t² – 10t + 50

⇔ 6t = 42

⇔ t = 7

Vậy M(7; -10).

b) Do N thuộc đường thẳng ∆ nên N(m; 4 – 2m).

Suy ra $\overrightarrow{NA}=\left(-2-m;2m-2\right)$, $\overrightarrow{NB}=\left(7-m;2m+1\right)$và  $\overrightarrow{NC}=\left(4-m;2m-9\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\left(9-3m;6m-10\right)\Rightarrow \left.\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}\right|=\sqrt{{\left(9-3m\right)}^2+{\left(6m-10\right)}^2}$

Gọi  $A={\left(9-3m\right)}^2+{\left(6m-10\right)}^2$

$A=45m^2-174m+181=45{\left(m-\frac{29}{15}\right)}^2+\frac{64}{5}\ge \frac{64}{5}$

Suy ra GTNN của $\left.\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}\right|$là $\frac{8}{\sqrt{5}}$đạt được khi  $m=\frac{29}{15}$

Hay  $N\left(\frac{29}{15};\frac{2}{15}\right)$.