Sách bài tập Toán 10 Bài 2 (Cánh diều): Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ - Cánh diều

Giải SBT Toán 10 trang 66 Tập 2

Bài 12 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(-1;3\right)$và $\overrightarrow{v}=\left(2;-5\right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$là:

A. (1; - 2);

B. (- 2; 1);

C. (- 3; 8);

D. (3; - 8).

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=$( -1 + 2; 3 + (-5)) = (1; -2).

Vậy chọn đáp án A.

Bài 13 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(2;-3\right)$và $\overrightarrow{v}=\left(1;4\right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}$là:

A. (0; 11);

B. (0; - 11);

C. (- 11; 0);

D. (- 3; 10).

Lời giải:

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}=\left(2-2.1;-3-2.4\right)=\left(0;-11\right)$

Vậy chọn đáp án B.

Bài 14 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hai điểm A(4; - 1) và B(- 2; 5). Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

A. (2; 4);

B. (- 3; 3);

C. (3; - 3);

D. (1; 2).

Lời giải:

Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

 $x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{4+\left(-2\right)}{2}=1y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-1+5}{2}=2$

Suy ra M(1; 2)

Vậy chọn đáp án D.

Bài 15 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC có A(4; 6), B(1; 2), C(7; - 2). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

A. $\left(4;\frac{10}{3}\right)$;

B. (8; 4);

C. (2; 4);

D. (4; 2).

Lời giải:

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

 $x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{4+1+7}{3}=4y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{6+2+\left(-2\right)}{3}=2$

Suy ra G(4; 2)

Vậy chọn đáp án D.

Bài 16 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hai điểm M(- 2; 4) và N(1; 2). Khoảng cách giữa hai điểm M và N là:

A. $\sqrt{13}$;

B. $\sqrt{5}$;

C. 13;

D. $\sqrt{37}$.

Lời giải:

Khoảng cách giữa hai điểm M và N chính bằng độ dài vectơ $\overrightarrow{MN}$và bằng

$\left.\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{{\left(x_N-x_M\right)}^2+{\left(y_N-y_M\right)}^2}=\sqrt{{\left(1+2\right)}^2+{\left(2-4\right)}^2}=\sqrt{13}$

Vậy chọn đáp án A.

Bài 17 trang 66 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(-4;-3\right)$và $\overrightarrow{v}=\left(-1;-7\right)$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$và $\overrightarrow{v}$là:

A. 90⁰;

B. 60⁰;

C. 45⁰;

D. 30⁰.

Lời giải:

Ta có:  $\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\frac{\left(-4\right).\left(-1\right)+\left(-3\right).\left(-7\right)}{\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}.\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-7\right)}^2}}=\frac{25}{\sqrt{25}.\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Suy ra $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)={45}^o$.

Vậy chọn đáp án C.

Giải SBT Toán 10 trang 67 Tập 2

Bài 18 trang 67 SBT Toán 10 Tập 2: Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;1\right)$và $\overrightarrow{v}=\left(-2;1\right)$là:

A. $\frac{-1}{10}$;

B. $\frac{\sqrt{10}}{10}$;

C. $\frac{-\sqrt{10}}{10}$;

D. $\frac{3}{10}$.

Lời giải:

Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;1\right)$và $\overrightarrow{v}=\left(-2;1\right)$là:

$\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\frac{1.\left(-2\right)+1.1}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}.\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{-1}{\sqrt{5}.\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{10}}{10}$.

Vậy chọn đáp án C.

Bài 19 trang 67 SBT Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC có A(2; 6), B(- 2; 2), C(8; 0). Khi đó, tam giác ABC là:

A. Tam giác đều;

B. Tam giác vuông tại A;

C. Tam giác có góc tù tại A;

D. Tam giác cân tại A.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(-2-2;2-6\right)=\left(-4;-4\right)$⇒ AB = $\left.\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}=4\sqrt{2}.$

$\overrightarrow{AC}=\left(8-2;0-6\right)=\left(6;-6\right)$⇒ AC = $\left.\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{6^2+{\left(-6\right)}^2}=6\sqrt{2}$.

Ta lại có:  $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left(-4\right).6+\left(-4\right).\left(-6\right)=0$

Nên $\overrightarrow{AB}$vuông góc với $\overrightarrow{AC}$hay tam giác ABC vuông tại A.

Vậy chọn đáp án B.

Bài 20 trang 67 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1; 5), B(- 1; - 1), C(2; - 5)

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD và $CD=\frac{3}{2}AB$.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(-1-1;-1-5\right)=\left(-2;-6\right)$và  $\overrightarrow{AC}=\left(2-1;-5-5\right)=\left(1;-10\right)$

Ta thấy $\frac{-2}{1}\ne \frac{-6}{-10}$nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$không cùng phương.

Vậy A, B, C không thẳng hàng.

b) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:

 $x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{1+\left(-1\right)+2}{3}=\frac{2}{3}{y}_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{5+\left(-1\right)+\left(-5\right)}{3}=\frac{-1}{3}$

Vậy $G\left(\frac{2}{3};\frac{-1}{3}\right)$.

c) Do tứ giác ABCD là hình thang có AB // CD

Nên $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{CD}$ngược hướng

Mà $CD=\frac{3}{2}AB$nên  $\overrightarrow{CD}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$

Gọi D(a; b), ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(-1-1;-1-5\right)=\left(-2;-6\right)$, $\overrightarrow{CD}=\left(a-2;b+5\right)$.

Suy ra  $\begin{array}{l}a-2=\frac{-3}{2}.\left(-2\right)\\ b+5=\frac{-3}{2}.\left(-6\right)\end{array}\iff \begin{array}{l}a=5\\ b=4\end{array}$

Vậy D(5; 4).

Bài 21 trang 67 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 2; 4), B(- 5; - 1), C(8; - 2). Giải tam giác ABC (làm tròn các kết quả số đo góc đến hàng đơn vị).

Lời giải:

Ta có:  $\overrightarrow{AB}=\left(-5+2;-1-4\right)=\left(-3;-5\right)$

 $\overrightarrow{AC}=\left(8+2;-2-4\right)=\left(10;-6\right)\overrightarrow{BC}=\left(8+5;-2+1\right)=\left(13;-1\right)$

Suy ra:  $AB=\left.\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-5\right)}^2}=\sqrt{34}$

 $AC=\left.\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{{10}^2+{\left(-6\right)}^2}=2\sqrt{34}BC=\left.\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{{13}^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{170}$

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left(-3\right).10+\left(-5\right).\left(-6\right)=0$suy ra $\overrightarrow{AB}$vuông góc với $\overrightarrow{AC}$hay $\widehat{BAC}={90}^o$.

Ta có: $\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\right)=\frac{10.13+\left(-6\right).\left(-1\right)}{\sqrt{{10}^2+6^2}.\sqrt{{13}^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{136}{2\sqrt{34}.\sqrt{170}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$.

Suy ra $\widehat{ACB}\approx {27}^o\Rightarrow \widehat{ABC}={90}^o-\widehat{ACB}\approx {63}^o$.

Bài 22 trang 67 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(4; - 2), B(10; 4) và điểm M nằm trên trục Ox. Tìm tọa độ điểm M sao cho $\left.\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|$có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Do M nằm trên trục Ox nên M(a; 0).

Khi đó $\overrightarrow{MA}=\left(4-a;-2\right)$và $\overrightarrow{MB}=\left(10-a;4\right)$.

 $\Rightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\left(14-2a;2\right)\Rightarrow \left.\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\sqrt{{\left(14-2a\right)}^2+2^2}$

Suy ra ${\left.\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|}^2={\left(14-2a\right)}^2+2^2\ge 2^2=4$

Giá trị nhỏ nhất của ${\left.\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|}^2$là 4

Hay giá trị nhỏ nhất của $\left.\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|$là 2 đạt được khi 14 – 2a = 0 $\iff a=7$

Vậy M(7; 0).

Bài 23 trang 67 SBT Toán 10 Tập 2: Trên màn hình ra đa của đài kiểm soát không lưu (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), một máy bay trực thăng chuyển động thẳng đều từ thành phố A có tọa độ (600; 200) đến thành phố B có tọa độ (200; 500) và thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ. Hãy tìm tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ.

Lời giải:

Gọi M(a; b) là tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ.

Ta có: $\overrightarrow{AM}=\left(a-600;b-200\right)$và  $\overrightarrow{AB}=\left(-400;300\right)$

Do máy bay chuyển động thẳng đều nên quãng đường máy bay đi được sau 1 giờ bằng $\frac{1}{3}$tổng quãng đường hay $AM=\frac{1}{3}AB$.

Mà M thuộc đoạn AB nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.

Suy ra  $\begin{array}{l}a-600=\frac{1}{3}.\left(-400\right)\\ b-200=\frac{1}{3}.300\end{array}\iff \begin{array}{l}a=\frac{1400}{3}\\ b=300\end{array}$

Vậy M $\left(\frac{1400}{3};300\right)$.