Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: 3x - 2y = 11 và 4x - 5y = 3

Giải Toán 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Video Giải Bài 13 trang 15 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 13 trang 15 SGK Toán 9 Tập 2:

a) $\begin{array}{l}3x-2y=11\\ 4x-5y=3\end{array}$

b) $\begin{array}{l}\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=1\\ 5x-8y=3\end{array}$

*Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}3x-2y=11\\ 4x-5y=3\end{array}\iff \begin{array}{l}3x=11+2y\\ 4x-5y=3\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{11+2y}{3}\\ 4x-5y=3\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{11+2y}{3}\\ 4.\frac{11+2y}{3}-5y=3\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{11+2y}{3}\\ \frac{44+8y}{3}-5y=3\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{11+2y}{3}\\ 44+8y-15y=9\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{11+2y}{3}\\ 7y=35\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{11+2.5}{3}\\ y=5\end{array}\iff \begin{array}{l}x=7\\ y=5\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (7; 5)

b)

$\begin{array}{l}\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=1\\ 5x-8y=3\end{array}\iff \begin{array}{l}\frac{x}{2}=1+\frac{y}{3}\\ 5x-8y=3\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\left(1+\frac{y}{3}\right).2\\ 5x-8y=3\end{array}\iff \begin{array}{l}x=2+\frac{2}{3}y\\ 5\left(2+\frac{2}{3}y\right)-8.y=3\end{array}\iff \begin{array}{l}x=2+\frac{2}{3}y\\ 10+\frac{10}{3}y-8y=3\end{array}\iff \begin{array}{l}x=2+\frac{2}{3}y\\ \frac{-14}{3}y=3-10\end{array}\iff \begin{array}{l}x=2+\frac{2}{3}y\\ \frac{-14}{3}y=-7\end{array}\iff \begin{array}{l}x=2+\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}y\\ y=\left(-7\right):\left(\frac{{\displaystyle -14}}{{\displaystyle 3}}\right)\end{array}\iff \begin{array}{l}x=2+\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}y\\ y=\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 2}}\end{array}\iff \begin{array}{l}x=2+\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}.\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 2}}\\ y=\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 2}}\end{array}\iff \begin{array}{l}x=3\\ y=\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 2}}\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = $\left(3;\frac{3}{2}\right)$.

* Phương pháp giải

Bước 1: Đặt điều kiện của phương trình.

Bước 2: Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ. Đưa hệ ban đầu về hệ mới. Bước 3: Giải hệ mới tìm ẩn phụ.

Bước 4: Thay giá trị vào ẩn phụ tìm x và y.

Bước 5: Kết luận.

*Lý thuyết

1. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$\left(\mathrm{I}\right)\begin{array}{l}\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}\\ \mathrm{a}\text{'}\mathrm{x}+\mathrm{b}\text{'}\mathrm{y}=\mathrm{c}\text{'}\end{array}$

Ví dụ 1:

$\begin{array}{l}3\mathrm{x}+5\mathrm{y}=3\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}=4\end{array}$;$\begin{array}{l}4\mathrm{x}-3\mathrm{y}=3\\ 2\mathrm{x}+2\mathrm{y}=1\end{array}$là các hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ Nếu hai phương trình có nghiệm chung là (x₀; y₀) thì (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (I).

+ Nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì hệ phương trình (I) vô nghiệm.

+ Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$\left(\mathrm{I}\right)\begin{array}{l}\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}\\ \mathrm{a}\text{'}\mathrm{x}+\mathrm{b}\text{'}\mathrm{y}=\mathrm{c}\text{'}\end{array}$

Gọi (d) và (d') là đồ thị hàm số của 2 hàm số rút ra từ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn của (I).

Đối với hệ phương trình (I), ta có:

Nếu (d) cắt (d') thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.

Nếu (d) song song với (d') thì hệ (I) vô nghiệm.

Nếu (d) trùng với (d') thì hệ (I) có vô số nghiệm.

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là

ax + by = c (1)

trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.

CHÚ Ý

a. Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c. Nếu c ≠ 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số (x0; y0) đều là nghiệm.

b. Khi b ≠ 0, phương trình ax + by = c trở thành

y = (-a/b)x + c/b (2)

Cặp số (x0; y0) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm M(x0; y0) thuộc đường thẳng (2).