Giải các bất phương trình sau 4x^2 – x + 1 < 0

Giải Toán 10 Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai

Video Giải Bài 3 trang 105 Toán lớp 10 Đại số

Bài 3 trang 105 Toán lớp 10 Đại số:

a) 4x² – x + 1 < 0;

b) $-3x^2+x+4\ge 0$;

c) $\frac{1}{x^2-4}<\frac{3}{3x^2+x-4}$;

d) $x^2-x-6\le 0$.

Lời giải:

a) Tam thức f(x) = 4x² – x + 1 có hệ số a = 4 > 0, biệt thức $\Delta ={\left(-1\right)}^2-\mathrm{4.4.1}=-15<0$

Do đó f(x) > 0 $\forall x\in ℝ$ 

Vậy bất phương trình 4x² – x + 1 < 0 vô nghiệm.

b)

+ Ta xét: f(x) = –3x² + x + 4 = 0 khi x = –1 hoặc $x=\frac{4}{3}$

+ Ta có bảng xét dấu:

Do đó: $-3x^2+x+4\ge 0\iff -1\le x\le \frac{4}{3}$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left.-1;\frac{4}{3}\right]$

c)

+ Ta có:

$\frac{1}{x^2-4}<\frac{3}{3x^2+x-4}\iff \frac{1}{x^2-4}-\frac{3}{3x^2+x-4}<0$

$\iff \frac{3x^2+x-4-3x^2+12}{\left(x^2-4\right)\left(3x^2+x-4\right)}<0$

$\iff \frac{x+8}{\left(x^2-4\right)\left(3x^2+x-4\right)}<0$

Lập bảng xét dấu vế trái:

+ Nhị thức x + 8 có nghiệm x = −8.

+ Tam thức x² – 4 có hai nghiệm x = 2 và x = −2, hệ số a = 1> 0.

Do đó x² – 4 mang dấu dương khi x < −2 hoặc x > 2 và mang dấu âm khi −2 < x < 2.

+ Tam thức 3x² + x – 4 có hai nghiệm x = 1 và $x=\frac{-4}{3}$, hệ số a = 3 > 0.

Do đó 3x² + x – 4 mang dấu dương khi $x<\frac{-4}{3}$ hoặc x > 1, mang dấu âm khi $\frac{-4}{3}<x<1$

Bảng xét dấu:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 

$S=\left(-\infty ;-8\right)\cup \left(-2;-\frac{4}{3}\right)\cup \left(1;2\right)$

d)

Xét f(x) = x² – x – 6 = 0 khi x = 3 hoặc x = –2.

Ta có bảng xét dấu:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = [−2; 3].