Giải bài tập trang 34, 35 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Chân trời sáng tạo

Giải bài tập trang 34, 35 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Chân trời sáng tạo

Khám phá 1 trang 34 Chuyên đề Toán 10: Có ba hộp, mỗi hộp đựng hai quả cầu được dán nhãn a và b (xem Hình 1).

Lấy từ mỗi hộp một quả cầu. Có bao nhiêu cách lấy để trong ba quả cầu lấy ra:

a) có 3 quả cầu dán nhãn b?

b) có 2 quả cầu dán nhãn b?

c) có 1 quả cầu dán nhãn b?

d) không có quả cầu nào dán nhãn b?

Lời giải:

a) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có $C_3^3$= 1 cách lấy ra 3 quả cầu dán nhãn b.

b) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có $C_3^2$= 3 cách lấy ra 2 quả cầu dán nhãn b.

c) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có $C_3^1$= 3 cách lấy ra 1 quả cầu dán nhãn b.

d) Vì có tổng cộng 3 quả cầu dán nhãn b nên có $C_3^0$= 1 cách lấy ra 1 quả cầu dán nhãn b.

Thực hành 1 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Hãy khai triển:

a) (x – y)⁶;

b) (1 + x)⁷.

Lời giải:

a) (x – y)⁶

$=C_6^0{x}^6+C_6^1{x}^5\left(-y\right)$$+C_6^2{x}^4{\left(-y\right)}^2+C_6^3{x}^3{\left(-y\right)}^3$$+C_6^4{x}^2{\left(-y\right)}^4+C_6^{5}x{\left(-y\right)}^5+C_6^6{\left(-y\right)}^6$

$=x^6-C_6^1{x}^{5}y+C_6^2{x}^4{y}^2-C_6^3{x}^3{y}^3$$+C_6^4{x}^2{y}^4-C_6^{5}x{y}^5+y^6$

$=x^6-6x^{5}y+15x^4{y}^2-20x^3{y}^3$$+15x^2{y}^4-6x{y}^5+y^6.$

b) (1 + x)⁷

$=C_7^0{1}^7+C_7^1{1}^{6}x+C_7^2{1}^5{x}^2+C_7^3{1}^4{x}^3$$+C_7^4{1}^3{x}^4+C_7^5{1}^2{x}^5+C_7^{6}1x^6+C_7^7{x}^7$

= 1 + 7x + 21x² + 35x³ + 35x⁴ + 21x⁵ + 7x⁶ + x⁷.

Khám phá 2 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Từ các công thức khai triển:

(a + b)⁰ = 1;

(a + b)¹ = a + b;

(a + b)² = a² + 2ab + b²;

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³;

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴;

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵;

các hệ số được viết thành bảng số như Hình 2 sau đây. Nếu sử dụng kí hiệu tổ hợp thì nhận được bảng như Hình 3.

Từ các đẳng thức như

$\begin{array}{ll}{C}_3^0=C_3^3=1,& C_4^1=C_4^3=4,\\ C_3^0+C_3^1=C_4^1,& C_4^2+C_4^3=C_5^3,\end{array}$

có thể dự đoán rằng, với mỗi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$,

$C_n^k=C_n^{n-k}(0\le k\le n);$

$C_n^{k-1}+C_n^k=C_{n+1}^k(1\le k\le n).$

Hãy chứng minh các công thức trên.

Gợi ý: Sử dụng công thức $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},n\in \mathbb{N},0\le k\le n.$

Lời giải:

+) Có

$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},C_n^{n-k}=\frac{n!}{(n-k)!\left.n-\left(n-k\right)\right]!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$

Vậy $C_n^k=C_n^{n-k}.$

+) $C_n^{k-1}+C_n^k=\frac{n!}{\left(k-1\right)!\left(n-k+1\right)!}+\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$

$=\frac{\frac{\left(n+1\right)!}{n+1}}{\frac{k!}{k}\left(n-k+1\right)!}+\frac{\frac{\left(n+1\right)!}{n+1}}{k!\frac{\left(n-k+1\right)!}{\left(n-k+1\right)}}=\frac{k}{n+1}.\frac{\left(n+1\right)!}{k!\left(n-k+1\right)!}+\frac{n-k+1}{n+1}.\frac{\left(n+1\right)!}{k!\left(n-k+1\right)!}$

$=\frac{k}{n+1}.\frac{\left(n+1\right)!}{k!\left.\left(n+1\right)-k\right]!}$$+\frac{n-k+1}{n+1}.\frac{\left(n+1\right)!}{k!\left.\left(n+1\right)-k\right]!}$

$=\frac{k}{n+1}.C_{n+1}^k+\frac{n-k+1}{n+1}.C_{n+1}^k=\left(\frac{k}{n+1}+\frac{n-k+1}{n+1}\right)C_{n+1}^k$

$=\frac{k+\left(n-k+1\right)}{n+1}{C}_{n+1}^k=\frac{n+1}{n+1}{C}_{n+1}^k=C_{n+1}^k.$