Chứng minh rằng: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ

Giải SBT Toán 9 Bài 5: Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

Bài 26 trang 67 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai đường thẳng:

y = ax + b (d)

y = a’x + b’ (d’)

Chứng minh rằng: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, hai đường thẳng (d) và (d’) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a.a’ = -1

Lời giải:

Qua gốc tọa độ, kẻ đường thẳng y = ax // (d) và y = a’x // (d’)

*Chứng minh (d) vuông góc với (d’)

thì a.a’ = -1

Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0.

Suy ra: a’ < 0

Khi đó góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng

y = ax là góc nhọn (do a > 0).

Suy ra góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng

y = a’x là góc tù (vì các góc tạo bởi đường thẳng y = ax và đường thẳng y = a’x với tia Ox hơn kém nhau).

Mà đường thẳng y = ax đi qua A(1; a), đường thẳng y = a’x đi qua B(1; a’) nên đoạn AB vuông góc với Ox tại điểm H có hoành độ bằng 1.

Vì (d) ⊥ (d’) nên hai đường thẳng

y = ax và y = a’x vuông góc với nhau 

$\Rightarrow \widehat{AOB}=90°$

Tam giác vuông AOB có OH ⊥ AB. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

Hay: a.|a’| = 1 ⇔ a.(-a’) = 1 ⇔ a.a’ = -1

Vậy nếu (d) vuông góc với (d’) thì a.a’ = -1

*Chứng minh a.a’ = -1 thì

(d) vuông góc với (d’)

Thật vậy , từ a.a’ = -1

$\Rightarrow a.\left.a\text{'}\right|=1\Rightarrow HA.HB=O{H}^2\Rightarrow \frac{HA}{OH}=\frac{OH}{HB}$

$\Rightarrow$tam giác HOA đồng dạng với tam giác HBO

$\Rightarrow \widehat{AOH}=\widehat{OBH}$

$Mà\widehat{OBH}+\widehat{HOB}=90°\Rightarrow \widehat{AOH}+\widehat{HOB}=\widehat{AOB}=90°$

từ đó ta có d $\perp$d’

$\Rightarrow$Điều phải chứng minh.