Cho tam giác ABC với BC = a; AC = b; AB = c. Chứng minh rằng

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin

Bài 5 trang 75 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với BC = a; AC = b; AB = c. Chứng minh rằng: 1 + cosA = $\frac{(\text{a}+\text{b}+\text{c})(-\text{a}+\text{b}+\text{c})}{2\mathrm{bc}}$.

Lời giải

Theo định lí côsin ta có: a² = b² + c² – 2bccosA

⇒ cosA = $\frac{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{\text{2bc}}$

Ta có:

1 + cosA = 1 + $\frac{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{\text{2bc}}$

= $\frac{2\text{bc}+{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{2\text{bc}}$

= $\frac{{(\text{b}+\text{c})}^2-{\text{a}}^2}{2\text{bc}}$

= $\frac{(\text{a}+\text{b}+\text{c})(-\text{a}+\text{b}+\text{c})}{2\mathrm{bc}}$

Vậy ta có điều phải chứng minh.