Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H

Giải SBT Toán 9 Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Bài 45 trang 163 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) Điểm E nằm trên đường tròn (O).

b) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải:

a)

Gọi O là trung điểm của AH

Tam giác AEH vuông tại E có EO là đường trung tuyến nên :

$EO=OA=OH=\frac{AH}{2}$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Do đó, điểm E nằm trên đường tròn $\left(O;\frac{AH}{2}\right)$

b)

Ta có: OH = OE

Do đó, tam giác OHE cân tại O

$\Rightarrow \widehat{OEH}=\widehat{OHE}$ (1)

Mà $\widehat{BHD}=\widehat{OHE}$ (là hai góc đối đỉnh) (2)

Xét tam giác BHD có:

$\widehat{HDB}={90}^o$

$\Rightarrow \widehat{HBD}+\widehat{BHD}={90}^o$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: $\widehat{OEH}+\widehat{HBD}={90}^o$ (4)

Xét tam giác ABC cân tại A

Có AD là đường cao cũng là đường trung tuyến

Do đó, D là trung điểm của BC

$\Rightarrow BD=CD=\frac{BC}{2}$

Xét tam giác BCE vuông tại E có ED là đường trung tuyến nên:

$ED=BD=DC=\frac{BC}{2}$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Do đó, tam giác BDE cân tại D

$\Rightarrow \widehat{DBE}=\widehat{DEB}$ (5)

Từ (4) và (5) ta suy ra:

$\widehat{OEH}+\widehat{DEB}=\widehat{BHD}+\widehat{DBH}={90}^o\Rightarrow \widehat{DEO}={90}^o$

$\Rightarrow DE\perp EO$

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).