Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài 41 trang 162 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) CE = CF

b) AC là tia phân giác của góc BAE

c) $C{H}^2=AE.BF$

Lời giải:

a)

Ta có:

$OC\perp d$ (tính chất tiếp tuyến)

$AE\perp d,BF\perp d$ (theo đề bài)

$\Rightarrow$ OC // AE // BF

Mà OA = OB (= R)

$\Rightarrow$ CE = CF (tính chất đường thẳng song song cách đều)

b)

Ta có: AE // OC

$\Rightarrow \widehat{OCA}=\widehat{EAC}$ (hai góc so le trong bằng nhau) (1)

Ta có: OA = OC (= R)

Do đó, tam giác OAC cân tại O

$\Rightarrow \widehat{OCA}=\widehat{OAC}$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\widehat{OAC}=\widehat{EAC}$

Do đó, AC là tia phân giác của góc OAE hay AE là tia phân giác của góc BAE

c)

Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên tam giác ABC vuông tại C

Xét tam giác ABC vuông tại C có:

CH vuông góc với AB tại H

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$C{H}^2=HA.HB$ (3)

Xét tam giác ACH và tam giác ACE có:

$\widehat{AEC}=\widehat{AHC}={90}^o$

CH = CE (tính chất đường phân giác)

AC chung

Do đó, tam giác ACH bằng tam giác ACE (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow$ AH = AE (4)

Xét tam giác BCH và tam giác BCF có:

$\widehat{BHC}=\widehat{BFC}={90}^o$

CH = CF (= CE)

BC chung

Do đó, tam giác BCH bằng tam giác BCF (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow$ BH = BF (5)

Từ (3), (4), (5) ta suy ra $C{H}^2=AE.BF$ (đcpcm)