Cho hàm số g(x)=căn x^2+2x - căn x^2-1 -2m với m là tham số

Giải SBT Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số

Bài 5.17 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1:Cho hàm số$g\left(x\right)=\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-1}-2m$với m là tham số. Biết$\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$, tìm giá trị của m.

Lời giải:

Ta có $g\left(x\right)=\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-1}-2m$

$=\frac{x^2+2x-x^2+1}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-1}}-2m$

$=\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-1}}-2m$

$=\frac{2+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}-2m$

Do đó, $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}-2m\right)=\frac{2}{2}-2m=1-2m$ .

Mà $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$ nên 1 – 2m = 0, suy ra $m=\frac{1}{2}$ .