Cho hai số a, b không âm. Chứng minh

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Căn bậc hai

Bài 9 trang 6 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai số a, b không âm. Chứng minh:

a) Nếu $\sqrt{a}$ <  $\sqrt{b}$ thì a < b

b) Nếu a < b thì $\sqrt{a}$ <  $\sqrt{b}$

(Bài này chứng minh định lí ở Bài 1, chương I, phần Đại số, sách giáo khoa Toán 9 tập một)

Lời giải:

a) Ta có: a ≥ 0; b ≥ 0 và $\sqrt{a}$ < $\sqrt{b}$

⇒ $\sqrt{b}$ > 0

Do đó: $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$> 0 và $\sqrt{a}$ - $\sqrt{b}$ < 0

$\Rightarrow \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)<0$

⇒ ${\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2$ < 0

⇒ a – b < 0 ⇒ a < b.

b) Vì a ≥ 0; b ≥ 0 và a < b nên b > 0

Ta có: $\sqrt{a}$ ≥ 0; $\sqrt{b}$ ≥ 0

suy ra: $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ > 0 (1)

Mặt khác: a – b

$={\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)$

Vì a < b nên a – b < 0

Suy ra: $\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)$< 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$\sqrt{a}$ - $\sqrt{b}$ < 0 ⇒ $\sqrt{a}$ < $\sqrt{b}$