Biết y là hàm số của x thỏa mãn phương trình xy = 1 + lny. Tính y'(0)

Giải SBT Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 9.14 trang 60 SBT Toán 11 Tập 2: Biết y là hàm số của x thỏa mãn phương trình xy = 1 + lny. Tính y'(0).

Lời giải:

Đạo hàm hai vế của phương trình đã cho, ta có

(xy)' = (1 + lny)' $\iff$y + xy' = $\frac{y\text{'}}{y}$

$\iff$ y = $\frac{y\text{'}}{y}$ - xy' $\iff$ y = $\left(\frac{1}{y}-x\right)$y'.

$\iff$ y = $\left(\frac{1-xy}{y}\right)$y' $\iff$ y' = $\frac{y^2}{1-xy}$.

Tại x = 0 thay vào phương trình xy = 1 + lny ta được lny = −1 $\iff$ y = e⁻¹.

Do đó $y^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{e^{-2}}{1-0\cdot e^{-1}}=e^{-2}=\frac{1}{e^2}$ .

Vậy $y^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{1}{e^2}$ .