Bài 3 trang 61 Toán 11 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 2 

Bài 3 trang 61 Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u­_n) với$u_n=\frac{n+1}{n+2}$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Dãy số tăng và bị chặn;

B. Dãy số giảm và bị chặn;

C. Dãy số giảm và bị chặn dưới;

D. Dãy số giảm và bị chặn trên.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

+) Ta có: $u_{n+1}=\frac{n+1+1}{n+1+2}=\frac{n+2}{n+3}$

Xét hiệu

Vì n ∈ ℕ^* nên n > 0, suy ra $\frac{1}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}>0$.

Do đó u_n+1 > u_n hay (u_n) là dãy tăng.

+) Ta có: $u_n=1-\frac{1}{n+2}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra n + 2 ≥ 3

$\Rightarrow u_n=1-\frac{1}{n+2}\ge 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Ta lại có n ∈ ℕ^* nên n > 0 suy ra $\frac{1}{n+2}>0$. Do đó $u_n=1-\frac{1}{n+2}<1$.

Vì vậy $\frac{2}{3}\le u_n<1$ nên dãy số (u_n) bị chặn.