Với giá trị nào của tham số m thì

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 7 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2: Với giả trị nào của tham số m thì:

a) Phương trình $4x^2+2\left(m-2\right)x+m^2=0$có nghiệm;

b) Phương trình $\left(m+1\right)x^2+2mx-4=0$có hai nghiệm phân biệt;

c) Phương trình $m{x}^2+\left(m+1\right)x+3m+10=0$vô nghiệm,

d) Bất phương trình $2x^2+\left(m+2\right)x+\left(2m-4\right)\ge 0$ có tập nghiệm là $ℝ$;

e) Bất phương trình $-3x^2+2mx+m^2\ge 0$ có tập nghiệm là $ℝ$.

Lời giải:

a) Phương trình $4x^2+2\left(m-2\right)x+m^2=0$có nghiệm khi và chỉ khi:

∆ = [2.( m – 2 )]² – 4.4.m² ≥ 0

⇔ m² – 4m + 4 – 4m² ≥ 0

⇔ – 3m² – 4m + 4 ≥ 0

Tam thức bậc hai f (m) = – 3m² – 4m + 4 có ∆_m = (–4)² – 4.( –3).4 = 64 > 0 suy ra f(m) có hai nghiệm phân biệt m₁ = $\frac{2}{3}$và m₂ = –2,a = – 3 < 0 nên f (m) ≥ 0 khi và chỉ khi – 2 ≤ m ≤ $\frac{2}{3}$.

Vậy – 2 ≤ m ≤ $\frac{2}{3}$thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Phương trình $\left(m+1\right)x^2+2mx-4=0$có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

m + 1 ≠ 0 và ∆ = (2m)² – 4.( m+1 ).(–4) > 0

+) Ta có: m + 1 ≠ 0 khi và chỉ khi m ≠ –1.

+) Xét ∆ = (2m)² – 4.(m+1).(–4) > 0

⟺ 4m² + 16m + 16 > 0

⟺m² + 4m + 4 > 0

⟺ ( m + 2 )² > 0

⟺ m ≠ –2 (vì ( m + 2 )² ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ)

Vậy m ≠ –1 và m ≠ –2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) +) Nếu m = 0 thì phương trình trở thành x + 10 = 0, có nghiệm x = –10. Do đó m = 0 không thỏa mãn yêu cầu.

+) Nếu m ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:

∆ = (m + 1)² – 4.m.( 3m + 10 ) < 0

⟺ m² + 2m + 1 – 12m² – 40m < 0

⟺ –11m² – 38m +1 < 0

Tam thức bậc hai f (m) = –11m² – 38m +1 có ∆_m = (–38)2 – 4.( –11).1 = 1488 suy ra f(m) có hai nghiệm phân biệt:

m₁ = $\frac{-19+2\sqrt{93}}{11}$vàm₂ = $\frac{-19-2\sqrt{93}}{11}$,a = – 11 < 0 nên f ( m ) < 0 khi và chỉ khi

m < $\frac{-19-2\sqrt{93}}{11}$hoặc m > $\frac{-19+2\sqrt{93}}{11}$

Vậy m < $\frac{-19-2\sqrt{93}}{11}$và m > $\frac{-19+2\sqrt{93}}{11}$thoả mãn yêu cầu đề bài.

d) Bất phương trình $2x^2+\left(m+2\right)x+\left(2m-4\right)\ge 0$có a = 2 > 0 nên tập nghiệm là $\mathrm{ℝ}$khi và chỉ khi ∆ = ( m + 2 )² – 4.2.( 2m – 4 ) ≤ 0

⟺ m² + 4m + 4 – 16m+ 32 < 0

⟺ m² – 12m + 36 ≤ 0

⟺ ( m – 6 )² ≤ 0

⟺ m = 6 (vì ( m – 6 )²≥ 0 với mọi m ∈ℝ)

Vậy m = 6 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

e) Bất phương trình $-3x^2+2mx+m^2\ge 0$có tập nghiệm là $\mathrm{ℝ}$khi và chỉ khi a > 0 và ∆ ≤ 0 mà a = –3 < 0 nên không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu.

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu.