Một quả bóng được ném thẳng lên từ độ cao h0(m) với vận tốc v0 (m/s)

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 9 trang 15 SBT Toán 10 Tập 2: Một quả bóng được ném thẳng lên từ độ caoh₀(m) với vận tốc v₀ (m/s). Độ cao của bóng so với mặt đất (tính bằng mét) sau t (s) được cho bởi hàm số

$h\left(t\right)=-\frac{1}{2}g{t}^2+v_{0}t+h_0$với g = 10 m/s² là gia tốc trọng trường.

a) Tỉnh h₀ và v₀ biết độ cao của quả bóng sau 0,5 giây và 1 giây lần lượt là 4,75 m và 5m.

b) Quả bóng có thể đạt được độ cao trên 4 m không? Nếu có thì trong thời gian bao lâu?

c) Cũng ném từ độ cao h₀ như trên, nếu muốn độ cao của bóng sau l giây trong khoảng từ 2 m đến 3 m thì vận tốc ném bóng v₀ cần là bao nhiêu?

Lưu ý: Đáp số làm tròn đến hàng phần trăm.

Lời giải:

a) Với g = 10 m/s² là gia tốc trọng trườngthì $h\left(t\right)=-\frac{1}{2}g{t}^2+v_{0}t+h_0$⇔h(t) = –5t² + v₀t + h₀.

Độ cao của quả bóng sau 0,5 giây là 4,75 m, ta có: 4,75 = –5(0,5)² + v₀.(0,5) + h₀ hay 0,5v₀ + h₀ = 6. (1)

Độ cao của quả bóng sau 1 giây là 5 m, ta có: 5 = –5.1² + v₀.1 + h₀ hay v₀ + h₀ = 10. (2)

Từ (1) và (2) ta được:

$\begin{array}{l}{\text{0,5v}}_{\text{0}}+{\text{h}}_{\text{0}}=6\\ {\text{v}}_{\text{0}}+{\text{h}}_{\text{0}}=10\end{array}$tức là $\begin{array}{l}{\text{v}}_{\text{0}}=8\\ {\text{h}}_{\text{0}}=2\end{array}$

Vậy h ( t ) = –5t² + 8t + 2.

b) Bóng cao trên 4m khi và chỉ khi h (t) = –5t² + 8t + 2 > 4 hay –5t² + 8t – 2 > 0

Tam thức bậc hai f ( t ) = –5t² + 8t – 2 có ∆ = 8² – 4.(– 5).(– 2) = 24 > 0 nên f(t) có hai nghiệm phân biệt t₁ = $\frac{4+\sqrt{6}}{5}$và t₂ = $\frac{4-\sqrt{6}}{5}$, a = –5 < 0 nên f ( t ) > 0 khi và chỉ khi $\frac{4-\sqrt{6}}{5}$< t < $\frac{4+\sqrt{6}}{5}$.

Quả bóng có thể đạt được độ cao trên 4m trong:

$\frac{4+\sqrt{6}}{5}$– $\frac{4-\sqrt{6}}{5}$≈ 0,98 (s).

Vậy quả bóng có thể đạt được độ cao trên 4m trong khoảng ít hơn 0,98 giây.

c) Độ cao của bóng sau l giây trong khoảng từ 2 m đến 3 m khi và chỉ khi:

2 < h ( 1 ) = –5 + v₀ + 2 < 3 tức là 5 < v₀ < 6 (m/s).

Vậy vận tốc ném cần nằm trong khoảng từ 5 m/s đến 6 m/s.