Giải các bất phương trình bậc hai sau

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 3 trang 14 SBT Toán 10 Tập 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai f (x) = –9x² + 16x + 4 có a = – 9 < 0 và ∆ = 16² – 4.( – 9).4 = 112 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là x₁ = 2 và x₂ = $\frac{-2}{9}$

Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có:

$-9x^2+16x+4\le 0$khi x ≤ $\frac{-2}{9}$hoặc x ≥ 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = $\left(-\infty ;\frac{-2}{9}\right)\cup \left(2;+\infty \right)$.

b)Tam thức bậc hai f (x) = $6x^2-13x-33$có a = 6 > 0 và ∆ = ( –13)² – 4.6.( –33) = 961 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là x₁ = $\frac{11}{3}$và x₂ = $\frac{-3}{2}$

Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có:

$6x^2-13x-33$< 0 khi $\frac{-3}{2}$< x < $\frac{11}{3}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = $\left(\frac{-3}{2};\frac{11}{3}\right)$.

c) Tam thức bậc hai f ( x ) = $7x^2-36x+5$có a = 7 > 0 và 2∆ = ( –36)² – 4.7.5 = 1156 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là x₁ = $\frac{1}{7}$và x₂ = 5

Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có:

$7x^2-36x+5\le 0$khi $\frac{1}{7}$≤ x ≤ 5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = $\left.\frac{1}{7};5\right]$.

d) Tam thức bậc hai f ( x ) = $-9x^2+6x-1$có a = –9 < 0 và ∆ = 6² – 4.(–9).(–1) = 0. Do đó f(x) có nghiệm x = $\frac{1}{3}$

Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có:

$-9x^2+6x-1\ge 0$khi x = $\frac{1}{3}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = $\left.\frac{1}{3}\right\}$.

e) Tam thức bậc hai f ( x ) = $49x^2+56x+16$= ( 7x + 4 )²

Tam thức bậc hai có nghiệm x = $\frac{-4}{7}$

Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có:

$49x^2+56x+16>0$khi x ≠ $\frac{-4}{7}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = $ℝ\backslash \left.\frac{-4}{7}\right\}$

g)

Tam thức bậc hai f ( x ) = $-2x^2+3x-2$có ∆ = 3² – 4. ( –2 ). ( –2 ) = –7 < 0 nên f(x) vô nghiệm.

Áp dụng định lí về dấu tam thức bậc hai ta có a = –2 < 0 nên

$-2x^2+3x-2\le 0$với mọi x ∈ ℝ.

Vậy $-2x^2+3x-2\le 0$với mọi x ∈ ℝ.