Một hình chữ nhật có chu vi bằng 20 cm. Để điện tích hình chữ nhật lớn hơn

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 11 trang 15 SBT Toán 10 Tập 2: Một hình chữ nhật có chu vi bằng 20 cm. Để điện tích hình chữ nhật lớn hơn hoặc bằng 15 cm² thì chiều rộng của hình chữ nhật nằm trong khoảng bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi x (cm) là chiều rộng hình chữ nhật.

Khi đó chiều dài hình chữ nhật là $\frac{20}{2}$– x hay 10 – x (cm)

Chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đều lớn hơn 0 và chiều rộng nhỏ hơn hoặc bằng chiều dài, ta có: 0 < x ≤ 10 – x hay 0 < x ≤ 5 (cm) (1)

Diện tích của hình chữ nhật là S = x. ( 10 – x )

Ta có x.( 10 – x ) ≥ 15 khi và chỉ khi x² + 10x – 15 ≥ 0.

Tam thức bậc hai f ( x ) = x² + 10x – 15 có∆ = 10² – 4.1.(– 15) = 160 > 0 hai nghiệm phân biệt x₁ = –5 + 2$\sqrt{10}$và x₂ = –5 – 2$\sqrt{10}$, a = 1 > 0 nên f ( x ) ≥ 0 khi và chỉ khi x ≤ –5 – 2$\sqrt{10}$hoặc x ≥ –5 + 2$\sqrt{10}$.

Kết hợp với điều kiện (1) ta được –5 + 2$\sqrt{10}$≤ x ≤ 5 hay 1,33 ≤ x ≤ 5.

Vậy chiều rộng của hình chữ nhật nằm trong khoảng từ 1,33 cm đến 5 cm thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.