Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t

Giải SBT Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1.30 trang 25 SBT Toán 11 Tập 1: Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t (ở đây t là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng) của một năm không nhuận được mô hình hóa bởi hàm số

$L\left(t\right)=12+\mathrm{2,83}\sin \left(\frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)\right)$ với t ∈ ℤ và 0 < t ≤ 365.

a) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời?

Lời giải:

Vì $-1\le \sin \left(\frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)\right)\le 1$  nên $-\mathrm{2,83}\le \mathrm{2,83}\sin \left(\frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)\right)\le \mathrm{2,83}$ , do đó $12-\mathrm{2,83}\le 12+\mathrm{2,83}\sin \left(\frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)\right)\le 12+\mathrm{2,83}$

hay $\mathrm{9,17}\le 12+\mathrm{2,83}\sin \left(\frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)\right)\le \mathrm{14,83}\forall t\in ℝ$ .

a) Ngày thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất ứng với

$\sin \left(\frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)\right)=-1$

$\iff \frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff t=-\frac{45}{4}+365k\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vì 0 < t ≤ 365 nên k = 1 suy ra t = $-\frac{45}{4}$  + 365 = 353,75.

Như vậy, vào ngày thứ 353 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 12 thì thành phố A sẽ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất.

b) Ngày thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất ứng với  

$\sin \left(\frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)\right)=1$

$\iff \frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff t=\frac{685}{4}+365k\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Vì 0 < t ≤ 365 nên k = 0 suy ra t = $\frac{685}{4}$  = 171,25.

Như vậy, vào ngày thứ 171 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 6 thì thành phố A sẽ có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất.

c) Thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời trong ngày nếu

 $12+\mathrm{2,83}\sin \left(\frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)\right)=10$

$\iff \sin \left(\frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)\right)=-\frac{200}{283}$

Từ đó ta được  .

Vì 0 < t ≤ 365 nên k = 0 suy ra t ≈ 34,69 hoặc t ≈ 308,3.

Như vậy, vào khoảng ngày thứ 34 của năm, tức là ngày 3 tháng 2 và ngày thứ 308 của năm, tức là ngày 4 tháng 11 thành phố A sẽ có 10 giờ ánh sáng mặt trời.