Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước

Giải SBT Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1.29 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1: Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m (hình bên). Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) tính từ một chiếc gầu gắn tại điểm A trên guồng đến mặt nước là h = |y| trong đó

$y=2+\mathrm{2,5}\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)$

với x là thời gian quay của guồng (x ≥ 0), tính bằng phút; ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới mặt nước.

a) Khi nào chiếc gầu ở vị trí cao nhất? Thấp nhất?

b) Chiếc gầu cách mặt nước 2 mét lần đầu tiên khi nào?

Lời giải:

a) Vì $-1\le \sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)\le 1$  nên $-\mathrm{2,5}\le \mathrm{2,5}\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)\le \mathrm{2,5}$  và do đó ta có $2-\mathrm{2,5}\le 2+\mathrm{2,5}\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)\le 2+\mathrm{2,5}$

hay $-\mathrm{0,5}\le 2+\mathrm{2,5}\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)\le \mathrm{4,5}\forall x\in ℝ$ .

Suy ra, gầu ở vị trí cao nhất khi $\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=1$ $\iff 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{1}{2}+k\left(k\in \mathbb{Z}\right)$. Do x ≥ 0 nên $x=\frac{1}{2}+k\left(k\in \mathbb{N}\right)$ .

Tương tự, gầu ở vị trí thấp nhất khi $\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=-1$

$\iff 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=k\left(k\in \mathbb{Z}\right)$. Do x ≥ 0 nên $x=k\left(k\in \mathbb{N}\right)$ .

b) Gầu cách mặt nước 2 m khi $2+\mathrm{2,5}\sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=2$

$\iff \sin 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=0$

$\iff 2\pi \left(x-\frac{1}{4}\right)=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{1}{4}+\frac{k}{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Do x ≥ 0 nên $x=\frac{1}{4}+\frac{k}{2}\left(k\in \mathbb{N}\right)$ .

Vậy chiếc gầu cách mặt nước 2 m lần đầu tiên tại thời điểm $x=\frac{1}{4}$  phút.