Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau

Giải Toán 10 Bài 3: Phương trình đường Elip

Bài 3 trang 88 Toán lớp 10 Hình học:

a) Elip đi qua các điểm M(0; 3) và $N\left(3;-\frac{12}{5}\right)$

b) Elip có một tiêu điểm là $F_1\left(-\sqrt{3};0\right)$ và điểm $M\left(1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ nằm trên elip.

Lời giải:

a) Phương trình chính tắc của elip có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

+) Elip đi qua M(0; 3)

$\frac{0^2}{a^2}+\frac{3^2}{b^2}=1\iff \frac{9}{b^2}=1\Rightarrow b^2=9$

+) Elip đi qua $N\left(3;\frac{-12}{5}\right)$

$\frac{3^2}{a^2}+\frac{{\left(\frac{-12}{5}\right)}^2}{9}=1\iff \frac{9}{a^2}=\frac{9}{25}\Rightarrow a^2=25$

Phương trình chính tắc của elip là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$

b)

+) Ta có:

$F_1\left(-\sqrt{3};0\right)\Rightarrow -c=-\sqrt{3}\iff c=\sqrt{3}\Rightarrow c^2=3$

+) Elip đi qua điểm $M\left(1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Suy ra $\frac{1}{a^2}+\frac{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{3}{4b^2}=1$  (1)

Mặt khác:  c² = a² − b²

Suy ra 3 = a² − b² hay a² = b² + 3

Thế vào (1) ta được: $\frac{1}{b^2+3}+\frac{3}{4b^2}=1$

$\iff \frac{4b^2+3b^2+9}{4b^4+12b^2}=1$

$\iff$4b² + 3b² + 9 = 4b⁴ + 12b²

$\iff$4b⁴ + 5b² – 9 = 0

$\iff \begin{array}{l}{b}^2=1\left(tm\right)\\ b^2=-\frac{9}{4}\left(loai\right)\end{array}$

Suy ra a² = b² + 3 = 1 + 3 = 4

Phương trình chính tắc của elip là: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$