Hoạt động 3 trang 40 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Hoạt động 3 trang 40 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số mũ $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x.$

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $\left(x;{\left(\frac{1}{2}\right)}^x\right)$ với x ∈ ℝ và nối lại, ta được đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ (Hình 2).

c) Cho biết tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ với trục tung và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục hoành.

d) Quan sát đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x,$ nêu nhận xét về:

• $\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^x,\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^x;$

• Sự biến thiên của hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Lời giải:

a) Xét hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$

Thay x = –3 vào hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ ta được $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}.$

Tương tự, ta thay lần lượt các giá trị x = –2; x = –1; x = 0; x = 1 vào hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ ta được bảng sau:

b) Các điểm $M\left(-3;8\right);N\left(-2;4\right);P\left(-1;2\right);Q\left(0;1\right);R\left(1;\frac{1}{2}\right)$ được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy như Hình 2.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $\left(x;{\left(\frac{1}{2}\right)}^x\right)$ với x ∈ ℝ và nối lại, ta được đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ (Hình 2).

c) Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ với trục tung là Q(0; 1) và đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ nằm ở phía trên trục hoành, đi xuống kể từ trái sang phải.

d) Từ đồ thị hàm số, ta thấy:

• $\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^x=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^x=0;$

• Đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ đi xuống kể từ trái sang phải nên hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ nghịch biến trên ℝ.

Bảng biến thiên của hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x:$