Giải các bất phương trình mũ

Giải Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Bài 1 trang 89 Toán lớp 12 Giải tích:

a) $2^{-x^2+3x}<4$;

b) ${\left(\frac{7}{9}\right)}^{2x^2-3x}\ge \frac{9}{7}$;

c) $3^{x+2}+3^{x-1}\le 28$;

d) $4^x-{3.2}^x+2>0$.

Lời giải:

a) $2^{-x^2+3x}<4$

$\iff 2^{-x^2+3x}<2^2\iff -x^2+3x<2(do2>1)\iff -x^2+3x-2<0\iff \begin{array}{l}x<1\\ x>2\end{array}$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm

S = $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(2;+\infty \right)$.

b) ${\left(\frac{7}{9}\right)}^{2x^2-3x}\ge \frac{9}{7}$

$\iff {\left({\left(\frac{9}{7}\right)}^{-1}\right)}^{2x^2-3x}\ge \frac{9}{7}\iff {\left(\frac{9}{7}\right)}^{-2x^2+3x}\ge {\left(\frac{9}{7}\right)}^1\iff -2x^2+3x\ge 1(do\frac{9}{7}>1)\iff -2x^2+3x-1\ge 0\iff \frac{1}{2}\le x\le 1$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

S $=\left.\frac{1}{2};1\right]$ .

c) $3^{x+2}+3^{x-1}\le 28$

$\iff 3^x{.3}^2+3^x{.3}^{-1}\le 28\iff {9.3}^x+\frac{1}{3}{.3}^x\le 28\iff \frac{28}{3}{.3}^x\le 28\iff 3^x\le 3\iff x\le 1(do3>1)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

S = $\left(-\infty ;1\right]$.

d) $4^x-{3.2}^x+2>0$

$\iff {\left(2^2\right)}^x-{3.2}^x+2>0\iff {\left(2^x\right)}^2-{3.2}^x+2>0(*)$

Đặt t = 2^x (t > 0)

Khi đó: (*) $\iff$t² – 3t + 2 > 0

$\iff \begin{array}{l}t<1\\ t>2\end{array}$

Do đó:

$\begin{array}{l}{2}^x<1\\ 2^x>2\end{array}\iff \begin{array}{l}{2}^x<2^0\\ 2^x>2^1\end{array}\iff \begin{array}{l}x<0\\ x>1\end{array}$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm

S = (-∞; 0)$\cup$(1; +∞).