Giải các bất phương trình lôgarit

Giải Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Bài 2 trang 90 Toán lớp 12 Giải tích: Giải các bất phương trình lôgarit:

a) ${\log }_8\left(4-2x\right)\ge 2$;

b) ${\log }_{\frac{1}{5}}\left(3x-5\right)>{\log }_{\frac{1}{5}}\left(x+1\right)$;

c) ${\log }_{0,2}x-{\log }_5\left(x-2\right)<{\log }_{0,2}3$;

d) ${\log }_3^{2}x-5{\log }_{3}x+6\le 0$.

Lời giải:

a)  ${\log }_8\left(4-2x\right)\ge 2$ (1)

ĐKCĐ: 4 – 2x > 0 $\iff$ x < 2

Khi đó: (1) $\iff 4-2x\ge 8^2$

$\iff -2x\ge 64-4\iff 2x\le -60\iff x\le -30$

Kết hợp với điều kiện, vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (-∞; -30].

b) ${\log }_{\frac{1}{5}}\left(3x-5\right)>{\log }_{\frac{1}{5}}\left(x+1\right)$ (2)

ĐKXĐ:

$\begin{array}{l}3x-5>0\\ x+1>0\end{array}\iff \begin{array}{l}x>\frac{5}{3}\\ x>-1\end{array}\iff x>\frac{5}{3}$

Khi đó: (2)

$\iff$ 3x – 5 < x + 1 (do $0<\frac{1}{5}<1$)

$\iff$ 3x – x < 1 + 5

$\iff$ 2x < 6

$\iff$ x < 3

Kết hợp với điều kiện ta được $\frac{5}{3}<x<3$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = $\left(\frac{5}{3};3\right)$.

c) ${\log }_{0,2}x-{\log }_5\left(x-2\right)<{\log }_{0,2}3$ (3)

ĐKXĐ: 

$\begin{array}{l}x>0\\ x-2>0\end{array}\iff x>2$

Khi đó: (3)

$\iff {\log }_{\frac{1}{5}}x-{\log }_5\left(x-2\right)<{\log }_{\frac{1}{5}}3\iff {\log }_{5^{-1}}x-{\log }_5\left(x-2\right)<{\log }_{5^{-1}}3\iff -{\log }_{5}x-{\log }_5\left(x-2\right)<-{\log }_{5}3\iff {\log }_{5}x+{\log }_5\left(x-2\right)>{\log }_{5}3\iff {\log }_5\left(x\left(x-2\right)\right)>{\log }_{5}3\iff x(x–2)>3(do5>1)\iff x^2–2x–3>0\iff \begin{array}{l}x<-1\\ x>3\end{array}$

Kết hợp với điều kiện ta được: x > 3

Vậy bất phương trình có tập nghiệm (3; +∞).

d)  ${\log }_3^{2}x-5{\log }_{3}x+6\le 0$ (4)

ĐKXĐ: x > 0

Khi đó: (4)

$\iff {\left({\log }_{3}x\right)}^2-5{\log }_{3}x+6\le 0$

Đặt t = ${\log }_{3}x$

Ta được t² – 5t + 6 $\le$ 0

$\iff 2\le t\le 3$

Khi đó: $2\le {\log }_{3}x\le 3$

$\iff 3^2\le x\le 3^3\iff 9\le x\le 27\left(tmđk\right)$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm [9; 27].