Giải bài tập trang 53, 54 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Cánh diều

Giải bài tập trang 53, 54 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Cánh diều

Luyện tập 3 trang 53 Chuyên đề Toán 10:

Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1.$Giả sử M là điểm thuộc hypebol có hoành độ là 15. Tìm độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M.

Lời giải:

Có a² = 144, b² = 25

$\Rightarrow a=12,b=5,c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{144+25}=13.$

Độ dài các bán kính qua tiêu của M là:

Hoạt động 7 trang 53 Chuyên đề Toán 10:

Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$với a > 0, b > 0. Xét đường thẳng ${\Delta }_1:x=-\frac{a}{e}$.

Với mỗi điểm M (x₀; y₀) $\in$(H) (Hình 17), tính:

a) Khoảng cách d (M, Δ₁) từ điểm M(x₀; y₀) đến đường thẳng Δ₁.

b) Tỉ số $\frac{M{F}_1}{d\left(M,{\Delta }_1\right)}$.

Lời giải:

a) Ta viết lại phương trình đường thẳng Δ₁ ở dạng Δ₁: x + 0 . y + $\frac{a}{e}$= 0.

Với mỗi điểm M(x₀; y₀) thuộc hypebol, ta có:

$d\left(M,{\Delta }_1\right)=\frac{\left.x_0+0.y_0+\frac{a}{e}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\frac{\left.a+e{x}_0\right|}{e}=\frac{M{F}_1}{e}.$

b) Từ a) ta suy ra$\frac{M{F}_1}{d\left(M,{\Delta }_1\right)}=e$.

Luyện tập 4 trang 54 Chuyên đề Toán 10:

Tìm các tiêu điểm và đường chuẩn của hypebol có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{11}-\frac{y^2}{25}=1.$

Lời giải:

Ta có: a² = 11, b² = 25 

$\Rightarrow a=\sqrt{11},b=5,c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{11+25}=6.$

Do đó hai tiêu điểm là F₁(–6; 0) và F₂(6; 0).

Ta có:

$e=\frac{c}{a}=\frac{6}{\sqrt{11}}\Rightarrow \frac{a}{e}=\frac{\sqrt{11}}{\frac{6}{\sqrt{11}}}=\frac{11}{6}.$

Vậy phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁(–6; 0) là ${\Delta }_1:x=-\frac{11}{6}.$Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂(6; 0) là ${\Delta }_2:x=\frac{11}{6}.$