Giải bài tập trang 52 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Cánh diều

Giải bài tập trang 52 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Cánh diều

Luyện tập 2 trang 52 Chuyên đề Toán 10:

Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết độ dài trục ảo bằng 6 và tâm sai bằng $\frac{5}{4}$

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a > 0, b > 0).

+) Hypebol có độ dài trục ảo bằng 6 $\iff$2b = 6 $\iff$b = 3 $\iff$b² = 9.

+) Hypebol có tâm sai bằng $\frac{5}{4}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{a^2+3^2}}{a}=\frac{5}{4}\Rightarrow 16\left(a^2+3^2\right)=25a^2\Rightarrow a^2=16.\Rightarrow \frac{\sqrt{a^2+3^2}}{a}=\frac{5}{4}\Rightarrow 16\left(a^2+3^2\right)=25a^2\Rightarrow a^2=16.$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1.$

Hoạt động 5 trang 52 Chuyên đề Toán 10:

Trong mặt phẳng, xét đường hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho |MF₁ – MF₂| = 2a, ở đó F₁F₂ = 2c với c > a > 0. Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng F₁F₂. Trục Oy là đường trung trực của F₁F₂ và F₂ nằm trên tia Ox (Hình 16). Khi đó F₁(c; 0), F₂(c; 0) là các tiêu điểm của (H).

Với mỗi điểm M(x; y) thuộc đường hypebol (H), chứng minh:

a) MF₁² = x² + 2cx + c² + y²;

b) MF₂² = x² – 2cx + c² + y²;

c) MF₁² – MF₂² = 4cx.

Lời giải:

a) MF₁² = [x – (– c)]² + (y – 0)² = (x + c)² + y² = x² + 2cx + c² + y².

b) MF₂² = (x – c)² + (y – 0)² = x² – 2cx + c² + y².

c) MF₁² – MF₂² = (x² + 2cx + c² + y²) – (x² – 2cx + c² + y²) = 4cx.

Hoạt động 6 trang 52 Chuyên đề Toán 10:

Với mỗi điểm M thuộc hypebol (H), từ hai đẳng thức MF₁² – MF₂² = 4cx và |MF₁ – MF₂| = 2a, chứng minh:

$M{F}_1=\left.a+\frac{c}{a}x\right|=|a+ex|;M{F}_2=\left.a-\frac{c}{a}x\right|=|a-ex|.$

Lời giải:

+) Nếu điểm M thuộc nhánh bên phải trục Oy thì MF₁ > MF₂. Khi đó:

MF₁ – MF₂ = |MF₁ – MF₂| = 2a.

Ta có: MF₁² – MF₂² = 4cx $\Rightarrow$(MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx $\Rightarrow$(MF₁ + MF₂)2a = 4cx

$\Rightarrow$MF₁ + MF₂ = $\frac{4cx}{2a}$= $\frac{2c}{a}$x. Khi đó:

+) Nếu điểm M thuộc nhánh bên phải trái Oy thì MF₁ < MF₂. Khi đó:

MF₁ – MF₂ = –|MF₁ – MF₂| = –2a.

Ta có: MF₁² – MF₂² = 4cx $\iff$(MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx $\iff$(MF₁ + MF₂)(–2a) = 4cx

$\iff$MF₁ + MF₂ = $\frac{4cx}{2a}$= –$\frac{2c}{a}$x. Khi đó:

Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có

$M{F}_1=\left.a+\frac{c}{a}x\right|=|a+ex|;M{F}_2=\left.a-\frac{c}{a}x\right|=|a-ex|.$