Giải bài tập trang 50, 51 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Cánh diều

Giải bài tập trang 50, 51 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Cánh diều

Hoạt động 3 trang 50 Chuyên đề Toán 10:

a) Quan sát điểm M (x; y) nằm trên hypebol (H) (Hình 15) và chứng tỏ rằng x ≤ –a hoặc x ≥ a.

b) Viết phương trình hai đường thẳng PR và QS.

Lời giải:

a) Nếu điểm M(x; y) thuộc (H) thì $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$

Vì $\frac{y^2}{b^2}\ge 0$nên $\frac{x^2}{a^2}\ge 1\Rightarrow x^2\ge a^2\Rightarrow$x ≤ –a hoặc x ≥ a.

b)

+) Có P(–a; b), R(a; –b) $\Rightarrow \overrightarrow{PR}=\left(a-\left(-a\right);-b-b\right)=\left(2a;-2b\right).$

Do đó ta chọn (b; a) là một vectơ pháp tuyến của PR.

Khi đó phương trình đường thẳng PR là: b(x + a) + a(y – b) = 0 hay bx + ay = 0 hay $y=-\frac{b}{a}x.$

+) Có Q(a; b), S(–a; –b) $\Rightarrow \overrightarrow{QS}=\left(-a-a;-b-b\right)=\left(-2a;-2b\right).$

Do đó ta chọn (–b; a) là một vectơ pháp tuyến của QS.

Khi đó phương trình đường thẳng QS là: –b(x – a) + a(y – b) = 0 hay –bx + ay = 0 hay $y=\frac{b}{a}x.$

Luyện tập 1 trang 51 Chuyên đề Toán 10:

Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là A₂(5; 0) và một đường tiệm cận là y = –3x.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a > 0, b > 0).

+) Hypebol có một đỉnh là A₂(5; 0)$\Rightarrow$a = 5.

+) Hypebol có một đường tiệm cận là y = –3x$\Rightarrow$$\frac{b}{a}=3\Rightarrow$b = 3a = 15.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{5^2}-\frac{y^2}{{15}^2}=1$hay $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{225}=1.$

Hoạt động 4 trang 51 Chuyên đề Toán 10:

Nêu định nghĩa tâm sai của elip có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$với a > b > 0.

Lời giải:

Tâm sai e của elip có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$với a > b > 0 là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip, tức là $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}.$