Giải bài tập trang 49 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Cánh diều

Giải bài tập trang 49 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Cánh diều

Hoạt động 1 trang 49 Chuyên đề Toán 10:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó a > 0, b > 0 (Hình 13).

a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm F₁, F₂ của hypebol (H).

b) Hypebol (H) cắt trục Ox tại các điểm A₁, A₂. Tìm độ dài các đoạn thẳng OA₁ và OA₂.

Lời giải:

a) Toạ độ hai tiêu điểm F₁, F₂ của hypebol (H) là: F₁(–c; 0) và F₂(c; 0) với $c=\sqrt{a^2+b^2}.$

b)

+) Vì A₁ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₁ có dạng $\left(x_{A_1};0\right).$

Mà A₁ thuộc (H) nên 

$\frac{x_{{A_1}_{}}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow x_{{A_1}_{}}^2=a^2\Rightarrow \begin{array}{l}{x}_{A_1}=a\\ x_{A_1}=-a\end{array}.$

Ta thấy A₁ nằm bên trái điểm O trên trục Ox nên $x_{A_1}<0\Rightarrow$$x_{A_1}=-a\Rightarrow$A₁(–a; 0). Khi đó OA₁ = $\sqrt{{\left(-a-0\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}$$=\sqrt{{\left(-a\right)}^2}=a$(vì a > 0).

VậyOA₁ = a.

+) Vì A₂ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₂ có dạng $\left(x_{A_2};0\right).$

Mà A₂ thuộc (H) nên

$\frac{x_{{A_2}_{}}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow x_{{A_2}_{}}^2=a^2\Rightarrow \begin{array}{l}{x}_{A_2}=a\\ x_{A_2}=-a\end{array}.$

Ta thấy A₂ nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên $x_{A_2}>0\Rightarrow$$x_{A_2}=a\Rightarrow$A₂(a; 0). Khi đó OA₂ = $\sqrt{{\left(a-0\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}=\sqrt{a^2}=a$(vì a > 0).

VậyOA₂ = a.

Hoạt động 2 trang 49 Chuyên đề Toán 10:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó a > 0, b > 0 (Hình 14 ).

Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol (H). Gọi M₁, M₂, M₃ lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc O. Các điểm M₁, M₂, M₃ có nằm trên hypebol (H) hay không? Tại sao?

Lời giải:

Theo đề bài, M(x; y) nằm trên (H) nên ta có: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$

+) M₁ là điểm đối xứng của M qua trục Ox, suy ra M₁ có toạ độ là (x; –y).

Ta có $\frac{x^2}{a^2}-\frac{{\left(-y\right)}^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$Do đó M₁ cũng thuộc (H).

+) M₂ là điểm đối xứng của M qua trục Oy, suy ra M₂ có toạ độ là (–x; y).

Ta có $\frac{{\left(-x\right)}^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$Do đó M₂ cũng thuộc (H).

+) M₃ là điểm đối xứng của M qua gốc O, suy ra M₃ có toạ độ là (–x; –y).

Ta có $\frac{{\left(-x\right)}^2}{a^2}-\frac{{\left(-y\right)}^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$Do đó M₃ cũng thuộc (H).