Giải bài tập trang 46, 47 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

Giải bài tập trang 46, 47 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

Luyện tập 4 trang 46 Chuyên đề Toán 10:

Viết phương trình chính tắc của elip, biết tiêu điểm F₂(5; 0) và đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó là x = $\frac{36}{5}$

Lời giải:

Elip có một tiêu điểm là F₂(5; 0) nên c = 5.

Theo đề bài ta có, đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂(5; 0) là x = $\frac{36}{5}$

Suy ra

$\frac{a}{e}=\frac{36}{5}\Rightarrow \frac{a}{\frac{c}{a}}=\frac{36}{5}\Rightarrow \frac{a^2}{c}=\frac{36}{5}\Rightarrow \frac{a^2}{5}=\frac{36}{5}\Rightarrow a^2=36.$

Suy ra b² = a² – c² = 36 – 5² = 36 – 25 = 11.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{11}=1.$

Hoạt động 8 trang 46 Chuyên đề Toán 10:

Cho elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0). Xét đường tròn (C) tâm O bán kính a có phương trình là x² + y² = a².

Xét điểm M(x; y) $\in$(E) và điểm M₁(x; y₁) $\in$(C) sao cho y và y₁ luôn cùng dấu (khi M khác với hai đỉnh A₁, A₂ của (E)) (Hình 10).

a) Từ phương trình chính tắc của elip (E), hãy tính y² theo x².

Từ phương trình của đường tròn (C), hãy tính y₁² theo x².

b) Tính tỉ số $\frac{HM}{H{M}_1}=\frac{y}{y_1}$theo a và b.

Lời giải:

a) Ta có:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{y^2}{b^2}=1-\frac{x^2}{a^2}=\frac{a^2-x^2}{a^2}\Rightarrow y^2=\frac{\left(a^2-x^2\right)b^2}{a^2};$

$x^2+y_1^2=a^2\Rightarrow y_1^2=a^2-x^2.$

b) Từ a)ta suy ra:

$\frac{y^2}{y_1^2}=\frac{\frac{\left(a^2-x^2\right)b^2}{a^2}}{a^2-x^2}=\frac{b^2}{a^2}\Rightarrow \frac{y}{y_1}=\frac{b}{a}.$

Vậy $\frac{HM}{H{M}_1}=\frac{y}{y_1}=\frac{b}{a}.$

Hoạt động 9 trang 47 Chuyên đề Toán 10:

Vẽ $\mathrm{elip}\left(E\right):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.

Lời giải:

Để vẽ elip (E), ta có thể làm như sau:

Ta thấy a = 5, b = 3. (E) có các đỉnh là A₁(– 5; 0), A₂(5; 0), B₁(0; – 3), B₂(0; 3).

Bước 1. Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x = – 5, x = 5,y = – 3, y = 3.

Bước 2. Tìm một số điểm cụ thể thuộc elip, chẳng hạn ta thấy điểm $M\left(4;\frac{9}{5}\right)$và điểm $N\left(3;\frac{12}{5}\right)$thuộc (E). Do đó các điểm $M_1\left(4;-\frac{9}{5}\right),M_2\left(-4;\frac{9}{5}\right),M_3\left(-4;-\frac{9}{5}\right)$, $N_1\left(3;-\frac{12}{5}\right),N_2\left(-3;\frac{12}{5}\right),N_3\left(-3;-\frac{12}{5}\right)$, thuộc $\left(E\right)$.

Bước 3. Vẽ đường elip (E) đi qua các điểm cụ thể trên, nằm ở phía trong hình chữ nhật cơ sở và tiếp xúc với các cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại bốn đỉnh của (E) là A₁(–5; 0), A₂(5; 0), B₁(0; –3), B₂(0; 3).