Giải bài tập trang 39, 40 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

Giải bài tập trang 39, 40 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

Hoạt động 1 trang 39 Chuyên đề Toán 10:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trỉnh chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó a > b > 0 (Hình 2).

a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm F₁, F₂ của (E).

b) (E) cắt trục Ox tại các điểm A₁, A₂ và cắt trục Oy tại các điểm B₁, B₂. Tìm độ dài các đoạn thẳng OA₂ và OB₂.

Lời giải:

a) Toạ độ hai tiêu điểm F₁, F₂ của (E) là F₁ $\left(-\sqrt{a^2-b^2};0\right),$F₂ $\left(\sqrt{a^2-b^2};0\right).$

b)

+) Vì A₂ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₂ có dạng $\left(x_{A_2};0\right).$

Mà A₂ thuộc (E) nên

$\frac{x_{{A_2}_{}}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow x_{{A_2}_{}}^2=a^2\Rightarrow \begin{array}{l}{x}_{A_2}=a\\ x_{A_2}=-a\end{array}.$

Ta thấy A₂ nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên $x_{A_2}>0\Rightarrow$$x_{A_2}=a$$\Rightarrow$A₂(a; 0). Khi đó OA₂ = $\sqrt{{\left(a-0\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}=\sqrt{a^2}=a$(vì a > 0).

Vậy OA₂ = a.

+) Vì B₂ thuộc trục Oy nên toạ độ của B₂ có dạng $\left(0;y_{B_2}\right).$

Mà B₂ thuộc (E) nên

$\frac{0^2}{a^2}+\frac{y_{{B_2}_{}}^2}{b^2}=1\Rightarrow y_{{B_2}_{}}^2=b^2\Rightarrow \begin{array}{l}{y}_{B_2}=b\\ y_{B_2}=-b\end{array}.$

Ta thấy B₂ nằm bên trên điểm O trên trục Oy nên $y_{B_2}>0\Rightarrow$$y_{B_2}=b$$\Rightarrow$B₂(0; b). Khi đó OB₂ = $\sqrt{{\left(0-0\right)}^2+{\left(b-0\right)}^2}=\sqrt{b^2}=b$(vì b > 0).

Vậy OB₂ = b.

Hoạt động 2 trang 40 Chuyên đề Toán 10:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$trong đó a > b > 0. Cho điểm M(x; y) nằm trên (E) (Hình 3).

a) Gọi M₁ là điểm đối xứng của M qua trục Ox. Tìm toạ độ của điểm M₁. Điểm M₁ có nằm trên (E) hay không? Tại sao?

b) Gọi M₂ là điểm đối xứng của M qua trục Oy. Tìm toạ độ của điểm M₂. Điểm M₂ có nằm trên (E) hay không? Tại sao?

c) Gọi M₃ là điểm đối xứng của M qua gốc O. Tìm toạ độ của điểm M₃. Điểm M₃ có nằm trên (E) hay không? Tại sao?

Lời giải:

Theo đề bài, M(x; y) nằm trên (E) nên ta có: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

a) M₁ là điểm đối xứng của M qua trục Ox, suy ra M₁ có toạ độ là (x; –y).

Ta có $\frac{x^2}{a^2}+\frac{{\left(-y\right)}^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$Do đó M₁ cũng thuộc (E).

b) M₂ là điểm đối xứng của M qua trục Oy, suy ra M₂ có toạ độ là (–x; y).

Ta có $\frac{{\left(-x\right)}^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$Do đó M₂ cũng thuộc (E).

c) M₃ là điểm đối xứng của M qua gốc O, suy ra M₃ có toạ độ là (–x; –y).

Ta có $\frac{{\left(-x\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(-y\right)}^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$Do đó M₃ cũng thuộc (E).