Giải bài tập trang 44, 45 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

Giải bài tập trang 44, 45 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

Hoạt động 6 trang 44 Chuyên đề Toán 10:

Sử dụng đẳng thức c) ở trên và đẳng thức MF₁ + MF₂ = 2a, chứng minh:

a) MF₁ – MF₂ = $\frac{2c}{a}$x;

b) MF₁ = a + $\frac{c}{a}$x;

c) MF₂ = a – $\frac{c}{a}$x.

Lời giải:

a) MF₁² – MF₂² = 4cx $\iff$(MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx $\iff$2a(MF₁ – MF₂) = 4cx

$\iff$MF₁ – MF₂ = $\frac{4cx}{2a}$= $\frac{2cx}{a}$x.

b) Từ MF₁ + MF₂ = 2a và $M{F}_1-M{F}_2=\frac{2c}{a}x$ta suy ra:

(MF₁ + MF₂) + (MF₁ – MF₂) = 2a + $\frac{2c}{a}x$$\iff$2MF₁ = 2a + $\frac{2c}{a}x$$\iff$MF₁ = a + $\frac{c}{a}$x.

c) Từ MF₁ + MF₂ = 2a và $M{F}_1-M{F}_2=\frac{2c}{a}x$ta suy ra:

(MF₁ + MF₂) – (MF₁ – MF₂) = 2a – $\frac{2c}{a}x$$\iff$2MF₂ = 2a – $\frac{2c}{a}x$$\iff$MF₂ = a – $\frac{c}{a}$x.

Luyện tập 3 trang 45 Chuyên đề Toán 10:

Cho elip (E): $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$với tiêu điểm $F_2(\sqrt{5};0)$. Tìm toạ độ điểm M (E) sao cho độ dài F₂M nhỏ nhất.

Lời giải:

Có a² = 9, suy ra a = 3.

Gọi toạ độ của M là (x; y).

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có F₂M = 3 – $\frac{\sqrt{5}}{3}$x.

Mặt khác, vì M thuộc (E) nên x ≤ 3

$\Rightarrow \frac{\sqrt{5}}{3}x\le \frac{\sqrt{5}}{3}3\Rightarrow \frac{\sqrt{5}}{3}x\le \sqrt{5}\Rightarrow -\frac{\sqrt{5}}{3}x\ge -\sqrt{5}$

$\Rightarrow$F₂M = 3 – $\frac{\sqrt{5}}{3}$x ≥ 3 – $\sqrt{5}$

Đẳng thức xảy ra khi x = 3.

Vậy độ dài F₂M nhỏ nhất khi M có hoành độ bằng 3, tức là M trùng với đỉnh (3; 0) của elip.

Hoạt động 7 trang 45 Chuyên đề Toán 10:

Cho elip (E) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0). Xét đường thẳng Δ₁: x = $-\frac{a}{e}.$

Với mỗi điểm M(x; y) $\in$(E) (Hình 9), tính:

a) Khoảng cách d(M, Δ₁) từ điểm M(x; y) đến đường thẳng Δ₁.

b) Tỉ số $\frac{M{F}_1}{d\left(M,{\Delta }_1\right)}$.

Lời giải:

a) Viết lại phương trình đường thẳng Δ₁ ở dạng: $x+0y+\frac{a}{e}=0.$Với mỗi điểm M(x; y) thuộc (E), ta có: 

$d\left(M,{\Delta }_1\right)=\frac{\left.x+0y+\frac{a}{e}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\frac{|a+ex|}{e}.$

b) Do MF₁ = a + ex > 0 nên MF₁ = |a + ex|, suy ra $d\left(M,{\Delta }_1\right)=\frac{M{F}_1}{e}$. Vậy $\frac{M{F}_1}{d\left(M,{\Delta }_1\right)}=e.$