Giải bài tập trang 42, 43 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

Giải bài tập trang 42, 43 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

Luyện tập 2 trang 42 Chuyên đề Toán 10:

Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng $\frac{3}{5}$.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0).

Theo đề bài elip có tiêu cự bằng 12 $\iff$2c = 12 $\iff$c = 6.

Elip có tâm sai bằng $\frac{3}{5}\Rightarrow$$\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{6}{a}=\frac{3}{5}\Rightarrow$a = 10 $\Rightarrow b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}=8.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{{10}^2}+\frac{y^2}{8^2}=1$hay $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1.$

Hoạt động 5 trang 43 Chuyên đề Toán 10:

Giả sử đường elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho MF₁ + MF₂ = 2a, ở đó F₁F₂ = 2c với 0 < c < a. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng F₁F₂. Trục Oy là đường trung trực của F₁F₂ và F₂ nằm trên tia Ox (Hình 8).

Khi đó, F₁(– c; 0), F₂(c; 0) là các tiêu điểm của elip (E). Giả sử điểm M(x; y) thuộc elip (E). Chứng minh rằng:

a) MF₁² = x² + 2cx + c² + y²;

b) MF₂² = x² – 2cx + c² + y²;

c) MF₁² – MF₂² = 4cx.

Lời giải:

a) MF₁² = [x – (– c)]² + (y – 0)² = (x + c)² + y² = x² + 2cx + c² + y².

b) MF₂² = (x – c)² + (y – 0)² = x² – 2cx + c² + y².

c) MF₁² – MF₂² = (x² + 2cx + c² + y²) – (x² – 2cx + c² + y²) = 4cx.