Giải bài tập trang 41 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

Giải bài tập trang 41 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

Hoạt động 3 trang 41 Chuyên đề Toán 10:

a) Nêu nhận xét về vị trí bốn đỉnh của elip (E) với bốn cạnh của hình chữ nhật cơ sở.

b) Cho điểm M(x; y) thuộc elip (E). Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của x và của y.

Lời giải:

a) Bốn đỉnh của elip là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở.

b) Nếu điểm M(x; y) thuộc (E) thì $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

+) Vì $\frac{y^2}{b^2}\ge 0$nên $\frac{x^2}{a^2}\le 1\Rightarrow x^2\le a^2\Rightarrow$–a ≤ x ≤ a.

Do đó:

Giá trị nhỏ nhất của x là –a khi x = –a, y = 0.

Giá trị lớn nhất của x là a khi x = a, y = 0.

+) Vì $\frac{x^2}{a^2}\ge 0$nên $\frac{y^2}{b^2}\le 1\Rightarrow y^2\le b^2\Rightarrow$– b ≤ y ≤ b.

Do đó:

Giá trị nhỏ nhất của y là –b khi x = 0, y = ­–b.

Giá trị lớn nhất của y là b khi x = 0, y = b.

Luyện tập 1 trang 41 Chuyên đề Toán 10:

Viết phương trình chính tắc của elip, biết A₁(– 4; 0) và B₂(0; 2) là hai đỉnh của nó.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0).

Elip đã cho có hai đỉnh là A₁(– 4; 0) và B₂(0; 2) nên a = 4, b = 2 hoặc a = 2, b = 4.

Mà a > b nên a = 4, b = 2.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$hay $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$

Hoạt động 4 trang 41 Chuyên đề Toán 10:

Quan sát elip (E) có phương trinh chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó a > b > 0 và hình chữ nhật cơ sở PQRS của (E) (Hình 5).

a) Tính tỉ số giữa hai cạnh $\frac{QR}{PQ}$của hình chữ nhật PQRS.

b) Tỉ số $\frac{QR}{PQ}$phản ánh đặc điểm gì của (E) về hình dạng?

Lời giải:

a) Ta thấy Q(a; b), R(a; –b) nên

$\mathrm{QR}=\sqrt{{\left(\mathrm{a}-\mathrm{a}\right)}^2+{\left(-\mathrm{b}-\mathrm{b}\right)}^2}=\sqrt{{\left(-2\mathrm{b}\right)}^2}=2\mathrm{b}.$

Ta thấy P(–a; b), Q(a; b) nên 

$\mathrm{PQ}=\sqrt{{\left(\mathrm{a}-\left(-\mathrm{a}\right)\right)}^2+{\left(\mathrm{b}-\mathrm{b}\right)}^2}=\sqrt{{\left(2\mathrm{a}\right)}^2}=2\mathrm{a}.$

Vậy $\frac{QR}{PQ}=\frac{2b}{2a}=\frac{b}{a}.$

b) Tỉ số $\frac{b}{a}$phản ánh cụ thể hình dạng của (E) như sau:

– Nếu tỉ số $\frac{b}{a}$càng bé thì hình chữ nhật cơ sở càng "dẹt", do đó (E) càng "gầy".

– Nếu tỉ số $\frac{b}{a}$càng lớn thì b càng gần a và hình chữ nhật cơ sở càng gần với hình vuông, do đó (E) càng "béo".