Giải bài tập trang 37 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Cánh diều

Giải bài tập trang 37 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Cánh diều

Bài 1 trang 37 Chuyên đề Toán 10:

Khai triển các biểu thức sau:

a) (2x + y)⁶;

b) (x – 3y)⁶;

c) (x – 1)ⁿ;

d) (x + 2)ⁿ;

e) (x + y)²ⁿ;

g) (x – y)²ⁿ;

trong đó n lả số nguyên dương.

Lời giải:

a) (2x + y)⁶

$=C_6^0{\left(2x\right)}^6+C_6^1{\left(2x\right)}^{5}y+C_6^2{\left(2x\right)}^4{y}^2$$+C_6^3{\left(2x\right)}^3{y}^3+C_6^2{\left(2x\right)}^2{y}^2$$+C_6^1\left(2x\right)y^5+C_6^6{y}^6$

$=2^6{x}^6+C_6^1{2}^5{x}^{5}y+C_6^2{2}^4{x}^4{y}^2$$+C_6^3{2}^3{x}^3{y}^3+C_6^4{2}^2{x}^2{y}^4$$+C_6^{5}2x{y}^5+y^6.$

b) (x – 3y)⁶

= [x + (–3y)]⁶

$=C_6^0{x}^6+C_6^1{x}^5\left(-3y\right)+C_6^2{x}^4{{\left(-3y\right)}^2}^6$$+C_6^3{x}^3{\left(-3y\right)}^3+C_6^4{x}^2{\left(-3y\right)}^4$$+C_6^{5}x{\left(-3y\right)}^5+C_6^6\left(-3y\right)$

$=x^6-C_6^{1}3x^{5}y+C_6^2{3}^2{x}^4{y}^2$$-C_6^3{3}^3{x}^3{y}^3+C_6^4{3}^4{x}^2{y}^4$$-C_6^5{3}^{5}x{y}^5+3^6{y}^6.$

c) (x – 1)ⁿ

= [(x + (–1)]ⁿ

d) (x + 2)ⁿ

e) (x + y)²ⁿ

g) (x – y)²ⁿ

Bài 2 trang 37 Chuyên đề Toán 10:

Tính:

Lời giải:

Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có:

$={\left(9+1\right)}^{2020}={10}^{2022}.$

$={\left.4+\left(-3\right)\right]}^{2022}=1^{2022}=1.$

Bài 3 trang 37 Chuyên đề Toán 10:

Chứng minh:

Lời giải:

Bài 4 trang 37 Chuyên đề Toán 10:

Xác định hệ số của:

a) x¹² trong khai triển của (x + 4)³⁰;

b) x¹⁰ trong khai triển của (3 + 2x)³⁰;

c) x¹⁵ và x¹⁶ trong khai triển của ${\left(\frac{2x}{3}-\frac{1}{7}\right)}^{51}.$

Lời giải:

a) Số hạng chứa x¹² là $C_{30}^{18}{x}^{12}{4}^{18}.$Hệ số của x¹² là $C_{30}^{18}{4}^{18}.$

b) Số hạng chứa x¹⁰ là $C_{30}^{10}{3}^{20}{\left(2x\right)}^{10}=C_{30}^{10}{3}^{20}{2}^{10}{x}^{10}.$Hệ số của x¹⁰ là $C_{30}^{10}{3}^{20}{2}^{10}.$

c) Số hạng chứa x¹⁵ là $C_{51}^{36}{\left(\frac{2x}{3}\right)}^{15}{\left(-\frac{1}{7}\right)}^{36}=C_{51}^{36}\frac{2^{15}}{3^{15}{7}^{36}}{x}^{15}.$

Hệ số của x¹⁵ là $C_{51}^{36}\frac{2^{15}}{3^{15}{7}^{36}}.$

Số hạng chứa x¹⁶ là

$C_{51}^{35}{\left(\frac{2x}{3}\right)}^{16}{\left(-\frac{1}{7}\right)}^{35}=-C_{51}^{35}\frac{2^{16}}{3^{16}{7}^{35}}{x}^{15}.$

Hệ số của x¹⁶ là $-C_{51}^{35}\frac{2^{16}}{3^{16}{7}^{35}}.$

Bài 5 trang 37 Chuyên đề Toán 10:

Xét khai triển của ${\left(x+\frac{5}{2}\right)}^{12}.$

a) Xác định hệ số của x⁷.

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số a_k của x^k với 0 ≤ k ≤ 12.

Lời giải:

a) Số hạng chứa x⁷ là $C_{12}^5{x}^7{\left(\frac{5}{2}\right)}^5.$Hệ số của x⁷ là $C_{12}^5{\left(\frac{5}{2}\right)}^5.$

b) Số hạng tổng quát trong khai triển trên là $C_{12}^{12-k}{x}^k{\left(\frac{5}{2}\right)}^{12-k}.$Hệ số của x^k là $C_{12}^{12-k}{\left(\frac{5}{2}\right)}^{12-k}.$

Bài 6 trang 37 Chuyên đề Toán 10:

Xét khai triển của ${\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{5}\right)}^{21}.$

a) Xác định hệ số của x¹⁰.

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, tưr đó nêu hệ số a_k của x^k với 0 ≤ k ≤ 21.

Lời giải:

a) Số hạng chứa x¹⁰ là $C_{21}^{11}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{10}{\left(\frac{1}{5}\right)}^{11}.$Hệ số của x¹⁰ là $C_{21}^{11}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}{\left(\frac{1}{5}\right)}^{11}=C_{21}^{11}\frac{1}{2^{10}{5}^{11}}.$

b) Số hạng tổng quát trong khai triển trên là $C_{21}^{21-k}{\left(\frac{x}{2}\right)}^k{\left(\frac{1}{5}\right)}^{21-k}.$Hệ số của x^k là $C_{21}^{21-k}\frac{1}{2^k{5}^{21-k}}.$