Giải bài tập trang 32 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Chân trời sáng tạo

Giải bài tập trang 32 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 32 Chuyên đề Toán 10:

Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$:

a) $1.2+2.3+3.4+\dots +n.(n+1)$$=\frac{n(n+1)(n+2)}{3};$

b) $1+4+9+\dots +n^2$$=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$;

c) $1+2+2^2+2^3+2^4+\dots$$+2^{n-1}=2^n-1$.

Lời giải:

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(1 + 1) = 2 = $\frac{1\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{3}.$

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1.2+2.3+3.4+\dots +k.(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1.2+2.3+3.4+\dots +$$k.(k+1)+\left(k+1\right)\left.\left(k+1\right)+1\right]$

$=\frac{(k+1)\left.(k+1)+1\right]\left.\left(k+1\right)+2\right]}{3}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 1² = 1 = $\frac{1\left(1+1\right)\left(2.1+2\right)}{6}.$

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1+4+9+\dots +k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1+4+9+\dots +k^2+{\left(k+1\right)}^2=\frac{(k+1)\left.\left(k+1\right)+1\right]\left.2\left(k+1\right)+1\right]}{6}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

c) Bước 1. Với n = 1, ta có 2^{1 – 1} = 2⁰ = 1 = 2¹ – 1.

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1+2+2^2+2^3+2^4+\dots +$$2^{k-1}=2^k-1.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1+2+2^2+2^3+2^4+\dots +2^{k-1}$$+2^{\left(k+1\right)-1}=2^{k+1}-1.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 2 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, ta có:

a) 5²ⁿ – 1 chia hết cho 24;

b) n³ + 5n chia hết cho 6.

Lời giải:

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 5^2.1 – 1 = 24 ⁝ 24. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 5^2k – 1 ⁝ 24.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

5^{2(k + 1)} – 1 ⁝ 24.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

5^{2(k + 1)} – 1 = 5^{2k + 2} – 1 = 25 . 5^2k – 1 = 24 . 5^2k + (5^2k – 1)

Vì 24 . 5^2k và (5^2k – 1) đều chia hết cho 24 nên 24 . 5^2k + (5^2k – 1) ⁝ 24 hay 5^{2(k + 1)} – 1 ⁝ 24.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 1³ + 5 . 1 = 6 ⁝ 6. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: k³ + 5k ⁝ 6.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

(k + 1)³ + 5(k + 1) ⁝ 6.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

(k + 1)³ + 5(k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1 + 5k + 5 = (k³ + 5k) + (3k² + 3k) + 6

= (k³ + 5k) + 3k(k + 1) + 6.

Vì k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2, do đó 3k(k + 1) ⁝ 6.

Do đó (k³ + 5k) và 3k(k + 1) đều chia hết cho 6, suy ra (k³ + 5k) + 3k(k + 1) + 6 ⁝ 6 hay (k + 1)³ + 5(k + 1) ⁝ 6.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 3 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng nếu x >–1 thì (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Lời giải:

Bước 1. Với n = 1 ta có (1 + x)¹ = 1 + x = 1 + 1.x.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: (1 + x)^k ≥ 1+ kx.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: (1 + x)^{k + 1} ≥ 1+ (k + 1)x.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

(1 + x)^{k + 1}

= (1 + x)(1 + x)^k ≥ (1 + x)(1+ kx) = 1 + x + kx + kx² > 1 + x + kx = 1+ (k + 1)x.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 4 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$:

$\frac{a^n+b^n}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^n\text{. }$

Lời giải:

Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{a^1+b^1}{2}=\frac{a+b}{2}={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^1\text{.}$Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $\frac{a^k+b^k}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^k\text{. }$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^{k+1}\text{. }$

Ta có:

Vì (a^k – b^k) và (a – b) cùng dấu nên (a^k – b^k)(a – b) ≥ 0 với mọi k ≥ 1,

suy ra a^{k + 1} + b^{k + 1} ≥ a^kb + ab^k

$\Rightarrow$(a^{k + 1} + b^{k + 1}) + (a^{k + 1} + b^{k + 1}) ≥ (a^kb + ab^k) + (a^{k + 1} + b^{k + 1}) = (a + b)(a^k + b^k)

$\Rightarrow$2(a^{k + 1} + b^{k + 1}) ≥ (a + b)(a^k + b^k)

$\Rightarrow \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}$$\ge \frac{\left(a+b\right)}{2}.\frac{\left(a^k+b^k\right)}{2}$

$\Rightarrow \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\ge \frac{a+b}{2}.\frac{a^k+b^k}{2}$$\ge \frac{a+b}{2}.{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^k={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^{k+1}\text{. }$

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 5 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}>\frac{2n}{n+1}.$

Lời giải:

Bước 1. Với n = 2, ta có $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}>\frac{4}{3}=\frac{2.2}{2+1}.$Do đó bất đẳng thức đúng với n = 2.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, nghĩa là có:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{k}>\frac{2k}{k+1}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}$$>\frac{2\left(k+1\right)}{\left(k+1\right)+1}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}$> $\frac{2k}{k+1}+\frac{1}{k+1}=\frac{2k+1}{k+1}$$=\frac{\left(2k+1\right)\left(k+2\right)}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{2k^2+5k+2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}$

$>\frac{2k^2+4k+2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{2{\left(k+1\right)}^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}$$=\frac{2\left(k+1\right)}{k+2}=\frac{2\left(k+1\right)}{\left(k+1\right)+1}.$

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

a) Tính S₃, S₄, S₅ tương ứng với trường hợp đa giác là tam giác, tứ giác, ngũ giác.

b) Từ đó, dự đoán công thức tính S_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

a) S₃ = 180^o, S₄ = 360^o, S₅ = 540^o.

b) Từ a) ta dự đoán S_n = (n – 2) . 180^o.

Ta chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bước 1. Với n = 3, ta có tổng ba góc của một tam giác bằng 180^o = (3 – 2) . 180^o. Vậy công thức đúng với n=3.

Bước 2. Giả sử công thức đúng với n = k ≥ 3, ta sẽ chứng minh công thức đúng với n = k + 1.

(k – 2) . 180^o + 180^o = (k – 1) . 180^o = [(k+1) – 2] . 180^o.

Vậy công thức đúng với mọi đa giác n cạnh, n ≥ 3.

Bài 7 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng. Giả sử lãi suất hằng tháng là r không đổi và theo thể thức lãi kép (tiền lãi của tháng trước được cộng vào vốn của tháng kế tiếp). Gọi T_n (n ≥ 1) là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ n + 1.

a) Tính T₁, T₂, T₃.

b) Dự đoán công thức tính T_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

a)

– T₁ là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 2:

T₁ = (a + ar) + a = a(1 + r) + a = a[(1 + r) + 1].

– T₂ là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 3:

T₂ = T₁ + T₁ . r + a

= a[(1 + r) + 1] + a[(1 + r) + 1]r + a

= a[(1 + r) + 1](1 + r) + a

= a(1 + r)² + a(1 + r) + a

= a[(1 + r)² + (1 + r) + 1].

– T₃ là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 4:

T₃ = T₂ + T₂ . r + a

= a[(1 + r)² + (1 + r) + 1] + a[(1 + r)² + (1 + r) + 1]r + a

= a[(1 + r)² + (1 + r) + 1](1 + r) + a

= a(1 + r)³ + a(1 + r)² + a(1 + r) + a

= a[(1 + r)³ + (1 + r)² + (1 + r) + 1].

b) Từ câu a) ta có thể dự đoán:

$=a.\frac{1-{\left(1+r\right)}^{n+1}}{1-\left(1+r\right)}=a.\frac{1-{\left(1+r\right)}^{n+1}}{-r}=a.\frac{{\left(1+r\right)}^{n+1}-1}{r}.$

Ta chứng minh bằng quy nạp toán học.

Bước 1. Với n = 1 ta có:

T₁ = a[(1 + r) + 1]

$=a.\frac{r^2+2r}{r}=a.\frac{\left(r^2+2r+1\right)-1}{r}=a.\frac{{\left(1+r\right)}^2-1}{r}=a.\frac{{\left(1+r\right)}^{1+1}-1}{r}.$

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, tức là ta có: T_k = $a.\frac{{\left(1+r\right)}^{k+1}-1}{r}.$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:T_{k + 1} = $a.\frac{{\left(1+r\right)}^{\left(k+1\right)+1}-1}{r}.$

Thật vậy,

T_{k + 1} = T_k + T_k . r + a

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Vậy T_n = $a.\frac{{\left(1+r\right)}^{n+1}-1}{r}$với mọi số tự nhiên n ≥ 1.