Giải bài tập trang 29 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Chân trời sáng tạo

Giải bài tập trang 29 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$:

$1+2+3+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}.$

Lời giải:

Bước 1. Với n = 1, ta có 1 = $\frac{1\left(1+1\right)}{2}.$Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $1+2+3+\dots +k=\frac{k(k+1)}{2}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1+2+3+\dots +k+\left(k+1\right)$$=\frac{\left(k+1\right)\left.(k+1)+1\right]}{2}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Thực hành 2 trang 29 Chuyên đề Toán 10:

Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3: 2^{n + 1} > n² + n + 2.

Lời giải:

Bước 1. Với n = 3, ta có 2^{3 + 1} = 16 > 14 = 3² + 3 + 2. Do đó bất đẳng thức đúng với n = 3.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 3, nghĩa là có: 2^{k + 1} > k² + k + 2.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

2^{(k +1) + 1} > (k + 1)² + (k + 1) + 2.

Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý k ≥ 3, ta có:

2^{(k +1) + 1} = 2 . 2^{k + 1} > 2(k² + k + 2) = 2k² + 2k + 4 = k² + k² + 2k + 4 > k² + k + 2k + 4

= (k² + 2k + 1) + (k + 1) + 2 = (k + 1)² + (k + 1) + 2.

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3.