Giải bài tập trang 11 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Chân trời sáng tạo

Giải bài tập trang 11 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Chân trời sáng tạo

Thực hành 2 trang 11 Chuyên đề Toán 10: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:

a) $\begin{array}{l}x-2y=1\\ x+2y-z=-2\\ x-3y+z=3\end{array};$

b) $\begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ x+2y-z=1\\ 2x-3y+3z=2\end{array};$

c) $\begin{array}{l}x-y+z=0\\ x-4y+2z=-1\\ 4x-y+3z=1\end{array}.$

Lời giải:

a) 

$\begin{array}{l}x-2y=1\\ x+2y-z=-2\\ x-3y+z=3\end{array}\iff \begin{array}{l}x-2y=1\\ -4y+z=3\\ x-3y+z=3\end{array}\iff \begin{array}{l}x-2y=1\\ -4y+z=3\\ y-z=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}x-2y=1\\ -4y+z=3\\ -3z=-5\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x-2y=1\\ -4y+\frac{5}{3}=3\\ z=\frac{5}{3}\end{array}\iff \begin{array}{l}x-2\left(-\frac{1}{3}\right)=1\\ y=-\frac{1}{3}\\ z=\frac{5}{3}\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ y=-\frac{1}{3}\\ z=\frac{5}{3}\end{array}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\left(\frac{1}{3};-\frac{1}{3};\frac{5}{3}\right).$

b)

$\begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ x+2y-z=1\\ 2x-3y+3z=2\end{array}\iff \begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ -7y+5z=-1\\ 2x-3y+3z=2\end{array}\iff \begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ -7y+5z=-1\\ 7y-5z=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}3x-y+2z=2\\ -7y+5z=-1\\ 0y+0z=-3\end{array}.$

Phương trình thứ ba của hệ này vô nghiệm, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) 

$\begin{array}{l}x-y+z=0\\ x-4y+2z=-1\\ 4x-y+3z=1\end{array}\iff \begin{array}{l}x-y+z=0\\ 3y-z=1\\ 4x-y+3z=1\end{array}\iff \begin{array}{l}x-y+z=0\\ 3y-z=1\\ -3y+z=-1\end{array}\iff \begin{array}{l}x-y+z=0\\ 3y-z=1\end{array}.$

Từ phương trình thứ hai, ta có z = 3y – 1, thay vào phương trình thứ nhất ta được x = –2y + 1.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng (–2y + 1; y; 3y – 1).

Vận dụng 1 trang 11 Chuyên đề Toán 10:

Tìm phương trình của parabol (P): y = ax² + bx + c (a ≠ 0), biết (P) đi qua ba điểm A(0; –1), B(1; –2) và C(2; –1).

Lời giải:

(P) đi qua A(0; –1) $\Rightarrow$–1 = a . 0² + b . 0 + c hay c = –1 (1).

(P) đi qua B(1; –2) $\Rightarrow$–2 = a . 1² + b . 1 + c hay a + b + c = –2 (2).

(P) đi qua C(2; –1) $\Rightarrow$–1 = a . 2² + b . 2 + c hay 4a + 2b + c = –1 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\begin{array}{l}c=-1\\ a+b+c=-2\\ a-b+c=-1\end{array}.$

Giải hệ này ta được a = 1, b = –2, c = –1.

Vậy phương trình của (P) là y = x² – 2x – 1.