Anonymous

Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều

- asked 6 months agoVotes

0Answers

1Views

Giải Toán 12 Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Bài 3 trang 18 Toán lớp 12 Hình học: Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.

Lời giải:

Xét tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi G₁, G₂, G₃ và G₄ lần lượt là tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC.

Gọi M là trung điểm của BC.

Xét tam giác AMD có:

$\frac{M G_{4}}{M A} = \frac{1}{3}; \frac{M G_{1}}{M D} = \frac{1}{3}$

(tính chất trọng tâm tam giác)

$\Rightarrow \frac{M G_{4}}{M A} = \frac{M G_{1}}{M D}$

$\Rightarrow G_{1} G_{4} // A D$ (định lý Ta – lét đảo)

$\Rightarrow \frac{M G_{4}}{M A} = \frac{M G_{1}}{M D} = \frac{G_{1} G_{4}}{A D} = \frac{1}{3}$

Mà AD = a

Nên $\frac{G_{1} G_{4}}{a} = \frac{1}{3} \Rightarrow G_{1} G_{4} = \frac{a}{3}$

Tương tự ta có:

G₁G₂ = G₂G₃ = G₃G₄

= G₁G₃ = G₁G₄ = G₂G₄ = $\frac{a}{3}$

Tâm các mặt của tứ diện đều ABCD tạo thành tứ diện G₁G₂G₃G₄ có độ dài mỗi cạnh là $\frac{a}{3}$ .

Vậy tứ diện G₁G₂G₃G₄ là tứ diện đều.