Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung

Giải Toán 12 Bài 1: Khái niệm về khối đa diện

Bài 2 trang 12 Toán lớp 12 Hình học:

Lời giải:

Cho khối đa diện (G) có các đỉnh là B₁, B₂,…, B_n và gọi m₁, m₂,…, m_n lần lượt là số các mặt của (G) nhận chúng làm đỉnh chung, ở đó m₁, m₂,…, m_n là những số lẻ.

Như vậy mỗi đỉnh B_k có m_{k ­}cạnh đi qua.

Ta có: đỉnh B₁ có m₁ cạnh đi qua, đỉnh B₂ có m₂ cạnh đi qua, …, đỉnh B_n có m_n cạnh đi qua.

Do đó tổng số các cạnh (có thể trùng nhau) của đa diện là m₁ + m₂ + … + m_n.

Tuy nhiên, do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh ở trên được đếm hai lần.

Vậy tổng số các cạnh thực tế của (G) là:

C = $\frac{1}{2}$(m₁ + m₂ + … + m_n)

Vì C là số nguyên dương nên:

m₁ + m₂ + … + m_n là số chẵn.

Ví dụ: Hình chóp ngũ giác B₁.B₂B₃B₄B₅B₆ có: B₁ là đỉnh chung của 5 mặt bên. Mỗi đỉnh B₁, B₂, B₃, B₄, B₅, B₆ là đỉnh chung của ba mặt (hình dưới).