Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm

Giải Toán 10 Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Video Giải Bài 2 trang 88 Toán lớp 10 Đại số

Bài 2 trang 88 Toán lớp 10 Đại số:

Lời giải:

a) Điều kiện: $x+8\ge 0\iff x\ge -8$

Ta thấy: 

Vậy bất phương trình $x^2+\sqrt{x+8}\le -3$ vô nghiệm trên tập xác định của nó.

b) $\sqrt{1+2{\left(x-3\right)}^2}+\sqrt{5-4x+x^2}<\frac{3}{2}$

Điều kiện: $\begin{array}{l}1+2{\left(x-3\right)}^2\ge 0\\ 5-4x+x^2\ge 0\end{array}$

Vì ${\left(x-3\right)}^2\ge 0\forall x\in ℝ$ nên $1+2{\left(x-3\right)}^2\ge 0$ luôn đúng $\forall x\in ℝ$

và 5 – 4x + x² = x² – 2.2.x + 4 + 1 = (x – 2)² + 1 > 0 $\forall x\in ℝ$

Suy ra tập xác định D = R.

Ta có:

$\begin{array}{l}1+2{(x-3)}^2\ge 1\\ 5-4x+x^2={\left(x-2\right)}^2+1\ge 1\end{array}\iff \begin{array}{l}\sqrt{1+2{(x-3)}^2}\ge 1\\ \sqrt{5-4x+x^2}\ge 1\end{array}$

Cộng vế với vế, ta được:

Vậy bất phương đã cho trình vô nghiệm.

c) $\sqrt{1+x^2}-\sqrt{7+x^2}>1$

Tập xác định: D = R

Ta có: $1<7\Rightarrow 1+x^2<7+x^2$ (cộng cả hai vế với x²).

Căn bậc hai hai vế, ta được:

$\sqrt{1+x^2}<\sqrt{7+x^2}$

$\Rightarrow \sqrt{1+x^2}-\sqrt{7+x^2}<0<1$

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.