Cho tam giác ABC có a = 4, góc C=60 độ, b = 5. a) Tính các góc và cạnh còn lại của tam giác

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 3.9 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có a = 4, $\widehat{C}=60°,$b = 5.

a) Tính các góc và cạnh còn lại của tam giác.

b) Tính diện tích của tam giác.

c) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác.

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin cho DABC ta có:

c² = a² + b² – 2ab.cosC

$\Rightarrow$ c² = 4² + 5² – 2.4.5.cos60°

= 16 + 25 – 40.$\frac{1}{2}$= 21.

$\Rightarrow$ c = $\sqrt{21}$

Áp dụng định lí sin ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

Do đó:

• $\sin B=\frac{\sin C}{c}.b=\frac{\sin 60°}{\sqrt{21}}.5=\frac{5\sqrt{7}}{14}.$

$\Rightarrow \widehat{B}\approx 70°{53}^{\text{'}}3{6^{\text{'}}}^{\text{'}}$

• $\sin A=\frac{\sin C}{c}.a=\frac{\sin 60°}{\sqrt{21}}.4=\frac{2\sqrt{7}}{7}.$

$\Rightarrow \widehat{A}\approx 49°6^{\text{'}}2{4^{\text{'}}}^{\text{'}}$

Vậy $c=\sqrt{21};\widehat{A}\approx 49°6^{\text{'}}2{4^{\text{'}}}^{\text{'}};\widehat{B}\approx 70°{53}^{\text{'}}3{6^{\text{'}}}^{\text{'}}.$

b) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

$S=\frac{1}{2}.ab\sin C=\frac{1}{2}\mathrm{.4.5.}\sin 60°=5\sqrt{3}.$

Vậy diện tích tam giác ABC bằng $5\sqrt{3}.$

c) Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong phần Nhận xét của Ví dụ 3, trang 37, SBT, Toán 10, Tập một ta có:

$m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}=\frac{5^2+{\left(\sqrt{21}\right)}^2}{2}-\frac{4^2}{4}=19.$

$\Rightarrow m_a=\sqrt{19}.$

Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC bằng $\sqrt{19}$