Cho hàm số f(x) = x.e^(x^2)+ ln(x+1). Tính f'(0) và f"(0)

Giải SBT Toán 11 Bài 33: Đạo hàm cấp hai

Bài 9.19 trang 62 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = x$e^{x^2}$ + ln(x+1). Tính f'(0) và f"(0).

Lời giải:

Có f'(x) = (x$e^{x^2}$+ ln(x+1))' = (x$e^{x^2}$)' + (ln(x+1))'

$=e^{x^2}+x{e}^{x^2}\cdot {\left(x^2\right)}^{\text{'}}+\frac{1}{x+1}$.

$=e^{x^2}+2x^2{e}^{x^2}+\frac{1}{x+1}$.

$f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)={\left(e^{x^2}+2x^2{e}^{x^2}+\frac{1}{x+1}\right)}^{\text{'}}$$={\left(e^{x^2}\right)}^{\text{'}}+{\left(2x^2{e}^{x^2}\right)}^{\text{'}}+{\left(\frac{1}{x+1}\right)}^{\text{'}}$

$=2x{e}^{x^2}+4x{e}^{x^2}+4x^3{e}^{x^2}-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$$=6x{e}^{x^2}+4x^3{e}^{x^2}-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$

Khi đó $f^{\text{'}}\left(0\right)=e^{0^2}+2\cdot 0\cdot e^{0^2}+\frac{1}{0+1}=2$ ;

$f^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=6\cdot 0\cdot e^{0^2}+4\cdot 0^3{e}^{0^2}-\frac{1}{{\left(0+1\right)}^2}=-1$.

Vậy f'(0) = 2 và f"(0) = −1.