Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây AB bất kỳ

Chứng minh $\widehat{EFD}+\widehat{ECD}={180}^o$.

Điểm M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB (gt)

$\Rightarrow$sđ$\stackrel{⏜}{MA}$= sđ$\stackrel{⏜}{MB}$(1)

Lại có: $\widehat{D}=\frac{1}{2}$sđ$\stackrel{⏜}{MAC}$(góc nội tiếp chắn cung)

 $\Rightarrow \widehat{D}=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{MA}+sđ\stackrel{⏜}{AC}\right)$(2)

Mặt khác, góc AEC là góc có đỉnh ở trong đường tròn chắn cung nhỏ MB và cung nhỏ AC

 $\Rightarrow \widehat{AEC}=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{MB}+sđ\stackrel{⏜}{AC}\right)$(tính chất góc có đỉnh ở trong đường tròn) (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: $\widehat{D}=\widehat{AEC}$

Mà:  $\widehat{AEC}+\widehat{CEF}={180}^o$(hai góc kề bù)

 $\Rightarrow \widehat{D}+\widehat{CEF}={180}^o$(4)

Xét tứ giác CEFD có:

 $\widehat{CEF}+\widehat{D}+\widehat{ECD}+\widehat{EFD}={360}^o$(tính chất tứ giác) (5)

Từ (4) và (5) ta suy ra: $\widehat{ECD}+\widehat{EFD}={180}^o$.