Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn

Giải Toán 9 Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Video Giải Bài 26 trang 115 Toán lớp 9 tập 1

Bài 26 trang 115 Toán lớp 9 tập 1:

a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.

b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết OB = 2cm, OA = 4cm.

Lời giải:

a)

Vì AB, AC là các tiếp tuyến cắt nhau tại A nên AB = AC và $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (do tính chất các tiếp tuyến cắt nhau)

Xét tam giác ABC có: AB = AC 

Do đó, tam giác ABC cân tại A

Vì $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ nên AO là tia phân giác của góc A, do đó, AO đồng thời là đường cao ứng với cạnh BC

$\Rightarrow OA\perp BC$ (1)

b)

Điểm B nằm trên đường tròn tâm O có đường kính CD nên có tam giác CBD vuông tại B (do nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác thì tam giác đó là tam giác vuông)

$\Rightarrow \widehat{CBD}={90}^o$

$\Rightarrow BC\perp BD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra BD // OA (do cùng vuông góc với BC)

c)

Nối O với B thì ta có: $OB\perp AB$ (do AB là tiếp tuyến của đường tròn tại B)

Xét tam giác OAB vuông tại B (do $OB\perp AB$)

Ta có:

$\sin A_1=\frac{OB}{OA}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{A_1}={30}^o\Rightarrow \widehat{A_2}=\widehat{A_1}={30}^o\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}={30}^o+{30}^o={60}^o$

Xét tam giác ABC cân tại A có: $\widehat{BAC}={60}^o$

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều

$\Rightarrow$ AB = BC = CA

Xét tam giác OAB vuông tại B

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$A{O}^2=A{B}^2+O{B}^2\Rightarrow A{B}^2=A{O}^2-O{B}^2=4^2-2^2=12\Rightarrow AB=BC=CA=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\left(cm\right)$