Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình 2x + by = -4 và bx - ay = -5

Giải Toán 9 Luyện tập trang 15, 16

Video Giải Bài 18 trang 16 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 18 trang 16 SGK Toán 9 Tập 2:

a) Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình $\begin{array}{l}2x+by=-4\\ bx-ay=-5\end{array}$ có nghiệm (1; -2).

b) Cũng hỏi như vậy nếu phương trình có nghiệm là $\left(\sqrt{2}-1;\sqrt{2}\right)$

Lời giải:

a) Vì hệ phương trình có nghiệm (1; -2) nên x = 1 và y = -2 thỏa mãn cả hai phương trong trong hệ.

Thay x = 1 và y = -2 vào hệ ta được:

$\begin{array}{l}2.1+b.(-2)=-4\\ b.1-a.(-2)=-5\end{array}\iff \begin{array}{l}2-2b=-4\\ b+2a=-5\end{array}\iff \begin{array}{l}-2b=-4-2\\ b+2a=-5\end{array}\iff \begin{array}{l}-2b=-6\\ b+2a=-5\end{array}\iff \begin{array}{l}b=3\\ 3+2a=-5\end{array}\iff \begin{array}{l}2a=-5-3\\ b=3\end{array}\iff \begin{array}{l}2a=-8\\ b=3\end{array}\iff \begin{array}{l}a=-4\\ b=3\end{array}$

Vậy để hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1; -2) thì a = -4 và b = 3.

b) Vì hệ phương trình có nghiệm $\left(\sqrt{2}-1;\sqrt{2}\right)$ nên x =$\sqrt{2}-1$  và y = $\sqrt{2}$ thỏa mãn cả hai phương trong trong hệ.

Thay x = $\sqrt{2}-1$ và y =$\sqrt{2}$ vào hệ ta được:

$\begin{array}{l}2.\left(\sqrt{2}-1\right)+b.\sqrt{2}=-4\\ b.\left(\sqrt{2}-1\right)-a.\sqrt{2}=-5\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}2\sqrt{2}-2+b\sqrt{2}=-4\\ b\left(\sqrt{2}-1\right)-a\sqrt{2}=-5\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}b\sqrt{2}=-4+2-2\sqrt{2}\\ b\left(\sqrt{2}-1\right)-a\sqrt{2}=-5\end{array}\iff \begin{array}{l}\sqrt{2}b=-2-2\sqrt{2}\\ b\left(\sqrt{2}-1\right)-a\sqrt{2}=-5\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}b=\frac{-2-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ b\left(\sqrt{2}-1\right)-a\sqrt{2}=-5\end{array}\iff \begin{array}{l}b=-2-\sqrt{2}\\ b\left(\sqrt{2}-1\right)-a\sqrt{2}=-5\end{array}\iff \begin{array}{l}b=-2-\sqrt{2}\\ \left(-2-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)-a\sqrt{2}=-5\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}b=-2-\sqrt{2}\\ -2\sqrt{2}-2+2+\sqrt{2}-a\sqrt{2}=-5\end{array}\iff \begin{array}{l}b=-2-\sqrt{2}\\ -a\sqrt{2}=-5+2\sqrt{2}+2-2-\sqrt{2}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}b=-2-\sqrt{2}\\ -a\sqrt{2}=-5+\sqrt{2}\end{array}\iff \begin{array}{l}a=\frac{-5+\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}\\ b=-2-\sqrt{2}\end{array}\iff \begin{array}{l}a=\frac{5\sqrt{2}-2}{2}\\ b=-2-\sqrt{2}\end{array}$

Vậy để hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left(\sqrt{2}-1;\sqrt{2}\right)$ thì a =$\frac{5\sqrt{2}-2}{2}$ và b = -2 -$\sqrt{2}$