Với giá trị nào của x, mỗi đẳng thức sau đúng? a) tan x cot x = 1

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác

Bài 1.20 trang 18 SBT Toán 11 Tập 1: Với giá trị nào của x, mỗi đẳng thức sau đúng?

a) tan x cot x = 1;

b) 1 + tan² x = $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ ;

c) 1 + cot² x = $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ ;

d) tan x + cot x = $\frac{2}{\sin 2x}$ .

Lời giải:

a) Đẳng thức tan x cot x = 1 đúng với mọi x khi tan x và cot x có nghĩa, tức là

⇔ 2sin x cos x ≠ 0 ⇔ sin2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ kπ (k ∈ ℤ) $\iff x\ne k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

b) Đẳng thức 1 + tan² x = $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$  đúng với mọi x khi cos x ≠ 0, tức là x ≠ $\frac{\pi }{2}$  + kπ (k ∈ ℤ).

c) Đẳng thức 1 + cot² x = $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$  đúng với mọi x khi sinx ≠ 0, tức là x ≠ kπ (k ∈ ℤ). 

d) Đẳng thức tan x + cot x = $\frac{2}{\sin 2x}$  đúng với mọi x khi

⇔ 2sin x cos x ≠ 0 ⇔ sin2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ kπ (k ∈ ℤ) 

$\iff x\ne k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .