Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các phép biến hình sau đây: Phép biến hình f biến mỗi điểm M(x; y)

Giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 1: Phép biến hình và phép dời hình

Bài 4 trang 10 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các phép biến hình sau đây:

– Phép biến hình f biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(–x; –y);

– Phép biến hình g biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(2x; 2y).

Trong hai phép biến hình trên, phép nào là phép dời hình? Giải thích.

Lời giải:

Lấy hai điểm bất kì M(x₁; y₁) và N(x₂; y₂).

Suy ra $\mathrm{MN}=\sqrt{{\left({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1\right)}^2+{\left({\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1\right)}^2}$.

– Ta có ảnh của M, N qua phép biến hình f lần lượt là M’(–x₁; –y₁), N’(–x₂; –y₂).

Khi đó ${\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}=\sqrt{{\left(-{\mathrm{x}}_2+{\mathrm{x}}_1\right)}^2+{\left(-{\mathrm{y}}_2+{\mathrm{y}}_1\right)}^2}=\sqrt{{\left({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1\right)}^2+{\left({\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1\right)}^2}=\mathrm{MN}$.

Vì vậy f là một phép dời hình.

– Ta có ảnh của M, N qua phép biến hình g lần lượt là M’(2x₁; 2y₁), N’(2x₂; 2y₂).

Khi đó ${\mathrm{M}}^{\text{'}}{\mathrm{N}}^{\text{'}}=\sqrt{{\left(2{\mathrm{x}}_2-2{\mathrm{x}}_1\right)}^2+{\left(2{\mathrm{y}}_2-2{\mathrm{y}}_1\right)}^2}=\sqrt{4{\left({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1\right)}^2+4{\left({\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1\right)}^2}$.

$=2\sqrt{{\left({\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1\right)}^2+{\left({\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_1\right)}^2}=2\mathrm{MN}\ne \mathrm{MN}$.

Vì vậy g không phải là một phép dời hình.

Vậy trong hai phép biến hình đã cho, phép dời hình là f.