Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x – y = 0

Giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 3: Phép đối xứng trục

Bài 2 trang 19 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x – y = 0 và cho điểm M(x₀; y₀). Tìm tọa độ điểm M’ = Đ_d(M).

Lời giải:

Trường hợp 1: M ∈ d.

Khi đó M = Đ_d(M).

Vì vậy M’ ≡ M.

Do đó M’(x₀; y₀).

Trường hợp 2: M ∉ d.

Theo đề, ta có M’ = Đ_d(M).

Suy ra d là đường trung trực của đoạn MM’, do đó d ⊥ MM’.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_d=\left(1;-1\right)$.

Vì vậy MM’ nhận ${\overrightarrow{n}}_d=\left(1;-1\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Suy ra phương trình MM’: $\begin{array}{l}\mathrm{x}={\mathrm{x}}_0+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}={\mathrm{y}}_0-\mathrm{t}\end{array}$

Gọi H là giao điểm của MM’ và d.

Suy ra H là trung điểm MM’ và tọa độ H(x₀ + t; y₀ – t).

Ta có H ∈ d.

Suy ra x₀ + t – y₀ + t = 0.

⇔ $t=\frac{y_0-x_0}{2}$.

Do đó tọa độ $H\left(\frac{x_0+y_0}{2};\frac{x_0+y_0}{2}\right)$.

Ta có H là trung điểm MM’.

Suy ra $\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_{{\mathrm{M}}^{\text{'}}}=2{\mathrm{x}}_{\mathrm{H}}-{\mathrm{x}}_{\mathrm{M}}=2.\frac{{\mathrm{x}}_0+{\mathrm{y}}_0}{2}-{\mathrm{x}}_0={\mathrm{y}}_0\\ {\mathrm{y}}_{{\mathrm{M}}^{\text{'}}}=2{\mathrm{y}}_{\mathrm{H}}-{\mathrm{y}}_{\mathrm{M}}=2.\frac{{\mathrm{x}}_0+{\mathrm{y}}_0}{2}-{\mathrm{y}}_0={\mathrm{x}}_0\end{array}$

Do đó tọa độ M’(y₀; x₀).

Vậy $\begin{array}{l}{\mathrm{M}}^{\text{'}}\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)\mathrm{khi}\mathrm{M}\in \mathrm{d}\\ {\mathrm{M}}^{\text{'}}\left({\mathrm{y}}_0;{\mathrm{x}}_0\right)\mathrm{khi}\mathrm{M}\notin \mathrm{d}\end{array}$.