Toán 9 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 4 trang 81

Giải Toán 9 Bài tập cuối chương 4 trang 81

A. Trắc nghiệm

Giải Toán 9 trang 81 Tập 1

Bài 4.21 trang 81 Toán 9 Tập 1:Trong Hình 4.32, cosα bằng

A. $\frac{5}{3}.$

B. $\frac{3}{4}.$

C. $\frac{3}{5}.$

D. $\frac{4}{5}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác cos, ta có: $cos\alpha =\frac{3}{5}.$

Bài 4.22 trang 81 Toán 9 Tập 1:Trong tam giác MNP vuông tại M (H.4.33),$\sin \widehat{MNP}$bằng

A. $\frac{PN}{NM}.$

B. $\frac{MP}{PN}.$

C. $\frac{MN}{PN}.$

D. $\frac{MN}{MP}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, ta có: $\sin \widehat{MNP}=\frac{MP}{NP}.$

Bài 4.23 trang 81 Toán 9 Tập 1:Trong tam giác ABC vuông tại A (H.4.34), tan B bằng

A. $\frac{AB}{AC}.$

B. $\frac{AC}{AB}.$

C. $\frac{AB}{BC}.$

D. $\frac{BC}{AC}.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác tan, ta có: $\tan B=\frac{AC}{AB}.$

Bài 4.24 trang 81 Toán 9 Tập 1:Với mọi góc nhọn α, ta có

A. sin(90° – α) = cosα.

B. tan(90° – α) = cosα.

C. cot(90° – α) = 1 – tanα.

D. cot(90° – α) = sinα.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Với mọi góc nhọn α, ta có:

⦁ sin(90° – α) = cosα;

⦁ tan(90° – α) = cotα;

⦁ cot(90° – α) = tanα.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 4.25 trang 81 Toán 9 Tập 1:Giá trị tan30° bằng

A. $\sqrt{3}.$

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}.$

C. $\frac{1}{\sqrt{3}}.$

D. 1

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $tan30°=\frac{1}{\sqrt{3}}.$

B. Tự luận

Bài 4.26 trang 81 Toán 9 Tập 1:Xét các tam giác vuông có một góc nhọn bằng hai lần góc nhọn còn lại. Hỏi các tam giác đó có đồng dạng với nhau không? Tính sin và côsin của góc nhọn lớn hơn.

Lời giải:

Xét ∆ABC vuông tại A, có một góc nhọn $\widehat{B}=\alpha ,$ góc nhọn còn lại là

$\widehat{C}=2\widehat{B}=2\alpha .$

Khi đó $\widehat{B}+\widehat{C}=\alpha +2\alpha =3\alpha .$

Mà $\widehat{B}+\widehat{C}=90°$(tổng hai góc nhọn của một tam giác vuông).

Do đó 3α = 90°, suy ra α = 30°. Vì vậy, $\widehat{B}=30°,\widehat{C}=60°.$

Xét các tam giác vuông có một góc nhọn bằng hai lần góc nhọn còn lại (một góc có số đo bằng 30° và một góc có số đo bằng 60°) thì các tam giác vuông đó đồng dạng với nhau và $\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2};\cos 60°=\frac{1}{2}.$

Bài 4.27 trang 81 Toán 9 Tập 1:Hình 4.35 là mô hình của một túp lều. Tìm góc α giữa cạnh mái lều và mặt đất (làm tròn kết quả đến phút).

Lời giải:

Ta có: $\tan \alpha =\frac{\mathrm{1,8}}{\mathrm{2,2}}=\frac{9}{11},$ suy ra α ≈ 39°17’.

Vậy góc α giữa cạnh mái lều và mặt đất là khoảng 39°17’.

Giải Toán 9 trang 82 Tập 1

Bài 4.28 trang 82 Toán 9 Tập 1:Một cây cao bị gãy, ngọn cây đổ xuống mặt đất. Ba điểm: gốc cây, điểm gãy, ngọn cây tạo thành một tam giác vuông. Đoạn cây gãy tạo với mặt đất góc 20° và chắn ngang lối đi một đoạn 5 m (H.4.36). Hỏi trước khi bị gãy, cây cao khoảng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Giả sử hình ảnh cây bị gãy mô tả bởi hình vẽ như dưới đây:

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

⦁ AC = AB.tan20° = 5.tan20° ≈ 1,8 (m);

⦁ $\cos B=\frac{AB}{BC},$ suy ra $BC=\frac{AB}{\text{cos}\alpha }=\frac{5}{\text{cos20}°}\approx \mathrm{5,3}\text{ (m).}$

Khi đó: AC + CB ≈ 1,8 + 5,3 = 7,1 (m).

Vậy trước khi bị gãy, cây cao khoảng 7,1 m.

Bài 4.29 trang 82 Toán 9 Tập 1:Cho tam giác ABC vuông tại A, có$\widehat{B}=\alpha$(H.4.37).

a) Hãy viết các tỉ số lượng giác sinα, cosα.

b) Sử dụng định lí Pythagore, chứng minh rằng sin²α + cos²α = 1.

Lời giải:

a) Theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin và cos, ta có:

$\sin \alpha =\sin B=\frac{AC}{BC}$ và $\text{cos}\alpha =\cos B=\frac{AB}{BC}.$

b) Ta có: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ={\left(\frac{AC}{BC}\right)}^2+{\left(\frac{AB}{BC}\right)}^2=\frac{A{C}^2+A{B}^2}{B{C}^2}.$

Áp dụng định lí Pythagore cho ∆ABC vuông tại A, ta có: BC² = AB² + AC²

Do đó: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =\frac{A{C}^2+A{B}^2}{B{C}^2}=\frac{B{C}^2}{B{C}^2}=1.$

Vậy sin²α + cos²α = 1.

Bài 4.30 trang 82 Toán 9 Tập 1:ĐỐ VUI. Chu vi Trái Đất bằng bao nhiêu?

Vào khoảng năm 200 trước Công nguyên, Eratosthenes (Ơ-ra-tô-xten), một nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp, đã ước lượng được "chu vi" của Trái Đất (chu vi của đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau:

1. Hồi đó, hằng năm cứ vào trưa ngày Hạ chí (21/6), người ta thấy tia sáng mặt trời chiếu thẳng xuống đáy một cái giếng sâu nổi tiếng ở thành phố Syene (Xy-en), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng.

2. Cũng vào trưa một ngày Hạ chí, ở thành phố Alexandria (A-lếch-xăng-đri-a) cách Syene 800 km, Eratosthenes thấy một tháp cao 25 m có bóng trên mặt đất dài 3,1 m.

Từ hai quan sát trên, ông có thể tính xấp xỉ "chu vi" của Trái Đất như thế nào? (trên Hình 4.38, điểm O là tâm Trái Đất, điểm S tượng trưng cho thành phố Syene, điểm A tượng trưng cho thành phố Alexandria, điểm H là đỉnh của tháp, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng AB).

Lời giải:

Theo em, nhà toán học và thiên văn học Eratosthenes đã tính xấp xỉ "chu vi" của Trái Đất như sau:

Các tia sáng mặt trời chiếu thẳng đứng, nên ta coi các tia sáng BH, OS song song với nhau. Khi đó $\widehat{AOS}=\widehat{BHA}$(hai góc so le trong).

Xét ∆ABH vuông tại A, ta có:

$\tan \widehat{BHA}=\frac{AB}{AH}=\frac{\mathrm{3,1}}{25}=\frac{31}{250},$ suy ra $\widehat{BHA}\approx 7°4^{\text{'}}.$ Do đó $\widehat{AOS}\approx 7°4^{\text{'}}.$

Xét ∆OAS vuông tại S, ta có:

$\sin \widehat{AOS}=\frac{AS}{OA},$ suy ra $OA=\frac{AS}{\sin \widehat{AOS}}\approx \frac{800}{\sin 7°4^{\text{'}}}\approx 6\mathrm{502,79}\text{ (km).}$

Khi đó, “chu vi” của Trái Đất khoảng:

2π.OA ≈ 2 . 3,14 . 6 502,79 ≈ 40 838 (km).