Toán 9 Bài 4 (Cánh diều): Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số

Giải Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số

Khởi động trang 67 Toán 9 Tập 1

Lời giải:

Có thể tính được thể tích$V_1^{}$theo$p_1^{},p_2^{}$và$V_2^{}$.

Hoạt động 1 trang 67 Toán 9 Tập 1

a.$\sqrt{7_2^{}}=?$;

b.$\sqrt{{\left(-9\right)}_2^{}}=?$;

c.$\sqrt{a_2^{}}=?$với a là một số cho trước.

Lời giải:

a.$\sqrt{7_2^{}}=\left|7\right|=7$;

b.$\sqrt{{\left(-9\right)}_2^{}}=\left|-9\right|=9$;

c.$\sqrt{a_2^{}}=\left|a\right|$.

Luyện tập 1 trang 67 Toán 9 Tập 1

a.$\sqrt{x_2^{}+6x+9}$với$x<-3$;

b.$\sqrt{y_4^{}+2y_2^{}+1}$.

Lời giải:

a.$\sqrt{x_2^{}+6x+9}=\sqrt{{\left(x+3\right)}_2^{}}=\left|x+3\right|=-x-3$(vì$x+3<0$khi$x<-3$).

b.$\sqrt{y_4^{}+2y_2^{}+1}=\sqrt{{\left(y_2^{}+1\right)}_2^{}}=\left|y_2^{}+1\right|=y_2^{}+1$(vì$y_2^{}+1>0$với mọi số thực y).

Hoạt động 2 trang 68 Toán 9 Tập 1

a.$\sqrt{16.0,25}$và$\sqrt{16}.\sqrt{0,25}$;

b.$\sqrt{a.b}$và$\sqrt{a}.\sqrt{b}$với a, b là hai số không âm.

Lời giải:

a.$\sqrt{16.0,25}=\sqrt{16}.\sqrt{0,25}$.

b.$\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$.

Luyện tập 2 trang 68 Toán 9 Tập 1

a.$\sqrt{9x_4^{}}$;

b.$\sqrt{3a_3^{}}.\sqrt{27a}$với$a>0$.

Lời giải:

a.$\sqrt{9x_4^{}}=\sqrt{9}.\sqrt{x_4^{}}=3.\left|x_2^{}\right|=3x_2^{}$.

b.$\sqrt{3a_3^{}}.\sqrt{27a}=\sqrt{3a_3^{}.27a}=\sqrt{81a_4^{}}=\sqrt{81}.\sqrt{a_4^{}}=3.\left|a_2^{}\right|=3a_2^{}$.

Hoạt động 3 trang 68 Toán 9 Tập 1

a.$\sqrt{\frac{49}{169}}$và$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{169}}$;

b.$\sqrt{\frac{a}{b}}$và$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$với a là số không âm, b là số dương.

Lời giải:

a.$\sqrt{\frac{49}{169}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{169}}$.

b.$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Luyện tập 3 trang 69 Toán 9 Tập 1

a.$\sqrt{\frac{9}{{\left(x-3\right)}_2^{}}}$với$x>3$;

b.$\frac{\sqrt{48x_3^{}}}{\sqrt{3x_5^{}}}$với$x>0$.

Lời giải:

a.$\sqrt{\frac{9}{{\left(x-3\right)}^2}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}}=\frac{3}{\left|x-3\right|}=\frac{3}{x-3}$(vì$x>3$nên$x-3>0$).

b.$\frac{\sqrt{48x_3^{}}}{\sqrt{3x_5^{}}}=\sqrt{\frac{48x_3^{}}{3x_5^{}}}=\sqrt{\frac{16}{x_2^{}}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{x_2^{}}}=\frac{4}{\left|x\right|}=\frac{4}{x}$(vì$x>0$).

Hoạt động 4 trang 69 Toán 9 Tập 1

Lời giải:

+ Mẫu thức của phân số$\frac{5}{\sqrt{3}}$là$\sqrt{3}$.

+ Mẫu thức của phân số$\frac{5\sqrt{3}}{3}$là 3.

Luyện tập 4 trang 69 Toán 9 Tập 1

Lời giải:

Ta có:$\frac{x^2-1}{\sqrt{x-1}}$$=\frac{\left(x^2-1\right).\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}.\sqrt{x-1}}$$=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\sqrt{x-1}}{x-1}$$=\left(x+1\right)\sqrt{x-1}$.

Luyện tập 5 trang 69 Toán 9 Tập 1

Lời giải:

Ta có:$\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$$=\frac{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$$=\frac{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-1}$$=\sqrt{x}+1$.

Luyện tập 6 trang 70 Toán 9 Tập 1

Lời giải:

Ta có:$\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$$=\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}$$=\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{x+1-x}$$=\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$.

Bài tập

Bài 1 trang 70 Toán 9 Tập 1

a.$\sqrt{{\left(5-x\right)}_2^{}}$với$x\ge 5$;

b.$\sqrt{{\left(x-3\right)}_4^{}}$;

c.$\sqrt{{\left(y+1\right)}_6^{}}$với$y<-1$.

Lời giải:

a.$\sqrt{{\left(5-x\right)}_2^{}}=\left|5-x\right|=x-5$(Vì$x\ge 5$nên$5-x\le 0$).

b.$\sqrt{{\left(x-3\right)}_4^{}}=\left|{\left(x-3\right)}_2^{}\right|={\left(x-3\right)}_2^{}$.

c.$\sqrt{{\left(y+1\right)}_6^{}}=\sqrt{{\left[{\left(y+1\right)}_3^{}\right]}_2^{}}=\left|{\left(y+1\right)}_3^{}\right|=-{\left(y+1\right)}_3^{}$(Vì$y<-1$nên$y+1<0$suy ra${\left(y+1\right)}_3^{}<0$).

Bài 2 trang 70 Toán 9 Tập 1

a.$\sqrt{25{\left(a+1\right)}_2^{}}$với$a>-1$;

b.$\sqrt{x_2^{}{\left(x-5\right)}_2^{}}$với$x>5$;

c.$\sqrt{2b}.\sqrt{32b}$với$b>0$;

d.$\sqrt{3c}.\sqrt{27c_3^{}}$với$c>0$.

Lời giải:

a.$\sqrt{25{\left(a+1\right)}_2^{}}=\sqrt{25}.\sqrt{{\left(a+1\right)}_2^{}}=5.\left|a+1\right|=5\left(a+1\right)$(Vì$a>-1$nên$a+1>0$).

b.$\sqrt{x_2^{}{\left(x-5\right)}_2^{}}=\sqrt{x_2^{}}.\sqrt{{\left(x-5\right)}_2^{}}=\left|x\right|.\left|x-5\right|=x\left(x-5\right)$(Vì$x>5$nên$x-5>0$).

c.$\sqrt{2b}.\sqrt{32b}=\sqrt{2b.32b}=\sqrt{64b_2^{}}=\sqrt{64}.\sqrt{b_2^{}}=8\left|b\right|=8b$(Do$b>0$).

d.$\sqrt{3c}.\sqrt{27c_3^{}}=\sqrt{3c.27c_3^{}}=\sqrt{81c_4^{}}=\sqrt{81}.\sqrt{c_4^{}}=9.\left|c_2^{}\right|=9c_2^{}$.

Bài 3 trang 71 Toán 9 Tập 1

a.$\sqrt{\frac{{\left(3-a\right)}_2^{}}{9}}$với$a>3$;

b.$\frac{\sqrt{75x_5^{}}}{\sqrt{5x_3^{}}}$với$x>0$;

c.$\sqrt{\frac{9}{x_2^{}-2x+1}}$với$x>1$;

d.$\sqrt{\frac{x_2^{}-4x+4}{x_2^{}+6x+9}}$với$x\ge 2$.

Lời giải:

a.$\sqrt{\frac{{\left(3-a\right)}_2^{}}{9}}=\frac{\sqrt{{\left(3-a\right)}_2^{}}}{\sqrt{9}}=\frac{\left|3-a\right|}{3}=\frac{a-3}{3}$(Vì$a>3$nên$3-a<0$).

b.$\frac{\sqrt{75x_5^{}}}{\sqrt{5x_3^{}}}=\sqrt{\frac{75x_5^{}}{5x_3^{}}}=\sqrt{25x_2^{}}=\sqrt{25}.\sqrt{x_2^{}}=5\left|x\right|=5x$(Do$x>0$).

c.$\sqrt{\frac{9}{x_2^{}-2x+1}}=\sqrt{\frac{9}{{\left(x-1\right)}_2^{}}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{{\left(x-1\right)}_2^{}}}=\frac{3}{\left|x-1\right|}=\frac{3}{x-1}$(Vì$x>1$nên$x-1>0$).

d.$\sqrt{\frac{x_2^{}-4x+4}{x_2^{}+6x+9}}=\sqrt{\frac{{\left(x-2\right)}_2^{}}{{\left(x+3\right)}_2^{}}}=\frac{\sqrt{{\left(x-2\right)}_2^{}}}{\sqrt{{\left(x+3\right)}_2^{}}}=\frac{\left|x-2\right|}{\left|x+3\right|}=\frac{x-2}{x+3}$(Vì$x\ge 2$nên$x-2\ge 0,x+3>0$).

Bài 4 trang 71 Toán 9 Tập 1

a.$\frac{9}{2\sqrt{3}}$;

b.$\frac{2}{\sqrt{a}}$với$a>0$;

c.$\frac{7}{3-\sqrt{2}}$;

d.$\frac{5}{\sqrt{x}+3}$với$x>0;x\ne 9$;

e.$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$;

g.$\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}$với$x>0,x\ne 3$.

Lời giải:

a.$\frac{9}{2\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{2\sqrt{3}.\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{2.3}=\frac{9\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

b.$\frac{2}{\sqrt{a}}=\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}.\sqrt{a}}=\frac{2\sqrt{a}}{a}$.

c.$\frac{7}{3-\sqrt{2}}=\frac{7\left(3+\sqrt{2}\right)}{\left(3-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)}=\frac{7\left(3+\sqrt{2}\right)}{9-2}=\frac{7\left(3+\sqrt{2}\right)}{7}=3+\sqrt{2}$.

d.$\frac{5}{\sqrt{x}+3}=\frac{5\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{5\left(\sqrt{x}-3\right)}{x-9}$.

e.$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}=\frac{3-2\sqrt{6}+2}{3-2}=5-2\sqrt{6}$.

g.$\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}=\frac{1\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{x-3}$.

Bài 5 trang 71 Toán 9 Tập 1

Lời giải:

$\begin{array}{l}\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{2b}{a-b}\\ =\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}-\frac{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\frac{2b}{a-b}\\ =\frac{a-\sqrt{ab}}{a-b}-\frac{\sqrt{ab}-b}{a-b}-\frac{2b}{a-b}\\ =\frac{a-\sqrt{ab}-\sqrt{ab}+b-2b}{a-b}\\ =\frac{a-2\sqrt{ab}-b}{a-b}.\end{array}$